導數的簡單應用與定積分

1.本部分內容高考的出題方式常見有三種

(1)利用導數的幾何意義求曲線的切線方程；考查定積分的性質及幾何意義.

(2)考查利用導數的有關知識研究函式的單調性、極值和最值，進而解(證)不等式.

(3)用導數解決日常生活中的一些實際問題，以及與其他知識相結合，考查常見的數學思想方法.

2.應對策略

首先要理解導數的工具性作用；其次要弄清函式單調性與導數符號之間的關係，掌握求函式極值、最值的方法步驟，對於已知函式單調性或單調區間，求引數的取值範圍問題，一般先利用導數將其轉化為不等式在某個區間上的恆成立問題，再利用分離引數法求解.

基礎記憶試做真題

基礎要記牢,真題須做熟

基礎知識不「背死」，就不能「用活」！

1．導數的幾何意義

(1)函式y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝f′(x0)．

(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(3)導數的物理意義：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．

2．四個易誤導數公式及兩個常用的運算法則

(1)(sin x)′＝cos x.

(2)(cos x)′＝－sin x.

(3)(a x)′＝axln a(a＞0，且a≠1)．

(4)(loga x)′＝(a＞0，且a≠1)．

(5)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(6)′＝(g(x)≠0)．

3．導數與函式單調性的關係

(1)f′(x)＞0是f(x)為增函式的充分不必要條件，如函式f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0.

(2)f′(x)≥0是f(x)為增函式的必要不充分條件，當函式在某個區間內恒有f′(x)＝0時，則f(x)為常數，函式不具有單調性．

4．函式的極值與最值

(1)設函式f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近所有的點x，都有f(x)＜f(x0)，那麼f(x0)是函式的乙個極大值，記作y極大值＝f(x0)；如果對x0附近的所有的點都有f(x)＞f(x0)，那麼f(x0)是函式的乙個極小值，記作y極小值＝f(x0)．極大值與極小值統稱為極值．

(2)函式的極值是區域性範圍內討論的問題，函式的最值是對整個定義域而言的，是在整個範圍內討論的問題．

(3)函式在其定義區間的最大值、最小值最多有乙個，而函式的極值可能不止乙個，也可能沒有．

(4)閉區間上連續的函式一定有最值，開區間內的函式不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值一定是函式的最值．

5．定積分的三個公式與乙個定理及幾何性質

(1)定積分的性質：

①kf(x)dx＝kf(x)dx；

②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．

(2)微積分基本定理：一般地，如果f(x)是區間[a，b]上的連續函式，並且f′(x)＝f(x)，那麼f(x)dx＝f(b)－f(a)．

(3)定積分的幾何性質：如果在區間[a，b]上的函式f(x)連續且恒有f(x)≥0，那麼定積分f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．

高考真題要回訪，做好真題底氣足

1．(2014·新課標全國卷ⅱ)設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x.則a＝(　　)

a．0　　　　b．1　　　　c．2　　　　d．3

2．(2014·山東)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為(　　)

a．2 b．4 c．2 d．4

3．(2014·陝西)如圖，某飛行器在4千公尺高空水平飛行，從距著陸點a的水平距離10千公尺處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函式圖象的一部分，則該函式的解析式為(　　)

a．y＝x3－x b．y＝x3－xc．y＝x3－x d．y＝－x3＋x

4．(2014·安徽)設函式f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.

(1)討論f(x)在其定義域上的單調性；

(2)當x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值．

熱點盤點細研深究

必須回訪的熱點名題

導數的幾何意義及運算

[試題調研]

[例1]　(1)(2014·全國大綱卷)曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等於(　　)

a．2e　　　　b．e　　　　c．2　　　　d．1

(2)(2014·江蘇)在平面直角座標系xoy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數)過點p(2，－5)，且該曲線在點p處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________．

1．求曲線的切線要注意「過點p的切線」與「在點p處的切線」的差異，過點p的切線中，點p不一定是切點，點p也不一定在已知曲線上，而在點p處的切線，必以點p為切點．

2．利用導數的幾何意**題，主要是利用導數、切點座標、切線斜率之間的關係來進行轉化．以平行、垂直直線斜率間的關係為載體求引數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關係，進而和導數聯絡起來求解．

[回訪名題]

(2014·安徽質檢二)已知函式f(x)＝x－ax(a＞0，且a≠1)．

(1)當a＝3時，求曲線f(x)在點p(1，f(1))處的切線方程．

(2)若函式f(x)存在極大值g(a)，求g(a)的最小值．

導數的簡單應用與定積分（2）

利用導數研究函式的單調性

[試題調研]

[例2]　(2014·新課標全國卷ⅱ)已知函式f(x)＝ex－e－x－2x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)設g(x)＝f(2x)－4bf(x)，當x>0時，g(x)>0，求b的最大值；

(3)已知1.414 2<<1.414 3，估計ln 2的近似值(精確到0.001)．

1．利用導數研究函式單調性的步驟

第一步：確定函式f(x)的定義域；

第二步：求f′(x);

第三步：解方程f′(x)＝0在定義域內的所有實數根；

第四步：將函式f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫座標和各實數根按從小到大的順序排列起來，分成若干個小區間；

第五步：確定f′(x)在各小區間內的符號，由此確定每個區間的單調性．

2．根據函式的單調性求引數取值範圍的思路

(1)求f′(x)．

(2)將單調性轉化為導數f′(x)在該區間上滿足的不等式恆成立問題求解．

[回訪名題]

(2014·吉林三模)已知函式f(x)＝ax＋ln x，a∈r.

(1)求函式f(x)的單調區間；

(2)是否存在實數a，使不等式f(x)＜ax2對x∈(1，＋∞)恆成立？若存在，求實數a的取值範圍；若不存在，請說明理由．

定積分[試題調研]

[例3]　(1)(2014·陝西)定積分(2x＋ex)dx的值為(　　)

a．e＋2 b．e＋1

c．ed．e－1

(2)(2014·湖北)若函式f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區間[－1,1]上的一組正交函式．給出三組函式：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區間[－1,1]上的正交函式的組數是(　　)

a．0 b．1 c．2 d．3

1．由函式圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應用，一般轉化為定積分的計算及應用，但一定要找準積分上限、下限及被積函式，且當圖形的邊界不同時，要討論解決．

(1)畫出圖形，確定圖形範圍；

(2)解方程組求出圖形交點座標，確定積分上、下限；

(3)確定被積函式，注意分清函式圖形的上、下位置；

(4)計算定積分，求出平面圖形的面積．

2．由函式求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函式可根據其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．

[回訪名題]

(1)(2014·江西)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，則f(x)dx＝(　　)

a．－1 b．－ c. d．1

(2)(2014·南昌二模)如圖放置的邊長為1的正方形pabc沿x軸滾動，點b恰好經過原點．設頂點p(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對函式y＝f(x)有下列判斷：

①函式y＝f(x)是偶函式；

②對任意的x∈r，都有f(x＋2)＝f(x－2)；

③函式y＝f(x)在區間[2,3]上單調遞減；

④f(x)dx＝.

其中正確判斷的序號是________．

[典例]　(2014·山東)設函式f(x)＝－k (k為常數，e＝2.718 28…是自然對數的底數)．

(1)當k≤0時，求函式f(x)的單調區間；

(2)若函式f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，求k的取值範圍．

提能專訓

a組一、選擇題

1．(2014·武漢名校聯考)曲線y＝2x－ln x在點(1,2)處的切線方程為(　　)

a．y＝－x－1 b．y＝－x＋3 c．y＝x＋1 d．y＝x－1

2．(2014·福州質檢)若函式f(x)＝－x2＋x＋1在區間上有極值點，則實數a的取值範圍是(　　)

導數的簡單應用與定積分

21 1 7定積分的簡單應用 1

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