第三十八導數、定積分
一、複習目標要求
1．導數及其應用
（1）導數概念及其幾何意義
① 通過對大量例項的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；
②通過函式影象直觀地理解導數的幾何意義。
（2）導數的運算
① 能根據導數定義求函式y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導數；
② 能利用給出的基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數，能求簡單的復合函式（僅限於形如f（ax+b））的導數；
③ 會使用導數公式表。
（3）導數在研究函式中的應用
① 結合例項，借助幾何直觀探索並了解函式的單調性與導數的關係；能利用導數研究函式的單調性，會求不超過三次的多項式函式的單調區間；
② 結合函式的影象，了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函式的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次的多項式函式最大值、最小值；體會導數方法在研究函式性質中的一般性和有效性。
（4）生活中的優化問題舉例
例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用。
（5）定積分與微積分基本定理
① 通過例項（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；
② 通過例項（如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關係），直觀了解微積分基本定理的含義。
（6）數學文化
收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料，並進行交流；體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。具體要求見本《標準》中"數學文化"的要求。
二、2023年命題**
導數是高中數學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數學工具，運用導數的有關知識，研究函式的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數的應用，也經常以解答題形式和其它數學知識結合起來，綜合考察利用導數研究函式的單調性、極值、最值，估計2023年高考繼續以上面的幾種形式考察不會有大的變化：
（1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬於高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函式及解析幾何結合，屬於高考的中低檔題；
（2）2023年高考可能涉及導數綜合題，以導數為數學工具考察：導數的物理意義及幾何意義，復合函式、數列、不等式等知識。
定積分是新課標教材新增的內容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由於定積分在實際問題中非常廣泛，因而07年的高考**會在這方面考察.
三、知識精點講解
1．導數的概念
函式y=f(x),如果自變數x在x處有增量，那麼函式y相應地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函式y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。
如果當時，有極限，我們就說函式y=f(x)在點x處可導，並把這個極限叫做f（x）在點x處的導數，記作f』（x）或y』|。
即f（x）==。
說明：（1）函式f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函式在點x處不可導，或說無導數。
（2）是自變數x在x處的改變量，時，而是函式值的改變量，可以是零。
由導數的定義可知，求函式y=f（x）在點x處的導數的步驟（可由學生來歸納）：
（1）求函式的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均變化率=；
（3）取極限，得導數f』(x)=。
2．導數的幾何意義
函式y=f（x）在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）） 處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x））處的切線的斜率是f』（x）。相應地，切線方程為y－y=f/（x）（x－x）。
3．常見函式的匯出公式．
（１）（c為常數） （２）
4．兩個函式的和、差、積的求導法則
法則1：兩個函式的和(或差)的導數,等於這兩個函式的導數的和(或差)，
即： (
法則2：兩個函式的積的導數,等於第乙個函式的導數乘以第二個函式,加上第乙個
函式乘以第二個函式的導數，即：
若c為常數,則.即常數與函式的積的導數等於常數乘以函式的導數：
法則3兩個函式的商的導數，等於分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方：『=（v0）。
形如y=f的函式稱為復合函式。復合函式求導步驟：分解——求導——回代。法則：y＇|= y＇| ·u＇|
5．導數的應用
（1）一般地，設函式在某個區間可導，如果，則為增函式；如果，則為減函式；如果在某區間內恒有，則為常數；
（2）曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；
（3）一般地，在區間[a，b]上連續的函式f在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函式在(a，b)內的極值； ②求函式在區間端點的值(a)、(b)； ③將函式的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定積分
（1）概念
設函式f(x)在區間[a，b]上連續，用分點a＝x0這裡，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間[a，b]叫做積分區間，函式f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx叫做被積式。
基本的積分公式：＝c；＝＋c（m∈q， m≠－1）；dx＝ln＋c；＝＋c；＝＋c；＝sinx＋c；＝－cosx＋c（表中c均為常數）。
（2）定積分的性質
①（k為常數）；
②；③（其中a＜c＜b。
（3）定積分求曲邊梯形面積
由三條直線x＝a，x＝b（a如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a四．典例解析
題型1：導數的概念
例1．已知s=，（1）計算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段內平均速度；（2）求t=3秒是瞬時速度。
解析：（1）指時間改變量；
指時間改變量。
。其餘各段時間內的平均速度，事先刻在光碟上，待學生回答完第一時間內的平均速度後，即用多**出示，讓學生思考在各段時間內的平均速度的變化情況。
（2）從（1）可見某段時間內的平均速度隨變化而變化，越小，越接近於乙個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限，
v===（6+=3g=29.4(公尺/秒)。
例2．求函式y=的導數。
解析：，
，=-。
點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學習導數的定義奠定基礎。
題型2：導數的基本運算
例3．（1）求的導數；
（2）求的導數；
（3）求的導數；
（4）求y=的導數；
（5）求y＝的導數。
解析：（1）,
（2）先化簡,
（3）先使用三角公式進行化簡.
（4）y』==；
（5）y＝－x＋５－
y』＝３*（x）＇－x
點評：（1）求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函式進行化簡，然後求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（2）有的函式雖然表面形式為函式的商的形式，但在求導前利用代數或三角恒等變形將函式先化簡，然後進行求導．有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量。
例4．寫出由下列函式復合而成的函式：
（1）y=cosu,u=12）y=lnu, u=lnx
解析：（1）y=cos(1+)；
（2）y=ln(lnx)。
點評：通過對y=（3x-2展開求導及按復合關係求導，直觀的得到=..給出復合函式的求導法則，並指導學生閱讀法則的證明。
題型3：導數的幾何意義
例5．（1）（06安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
a． b． c． d．
（2）（06全國ii）過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（ ）
（a） （b） （c） （d）
解析：（1）與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為，故選a；
（2），設切點座標為，則切線的斜率為2，且，於是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得＝0或－4，代入可驗正d正確，選d。
點評：導數值對應函式在該點處的切線斜率。
例6．（1）（06湖北卷）半徑為r的圓的面積s(r)＝r2,周長c(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變數，則(r2)`＝2r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函式的導數等於圓的周長函式。對於半徑為r的球，若將r看作(0，＋∞)上的變數，請你寫出類似於的式子式可以用語言敘述為
（2）（06湖南卷）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是
解析：（1）v球＝，又故式可填，用語言敘述為「球的體積函式的導數等於球的表面積函式。」；
（2）曲線和在它們的交點座標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。
點評：導數的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯絡在一起，對於較複雜問題有很好的效果。
題型4：借助導數處理單調性、極值和最值
例7．（1）（06江西卷）對於r上可導的任意函式f（x），若滿足（x－1）0，則必有（ ）
a．f（0）＋f（2）2f（1b. f（0）＋f（2）2f（1）
c．f（0）＋f（2）2f（1d. f（0）＋f（2）2f（1）
導數的簡單應用與定積分
1.本部分內容高考的出題方式常見有三種 1 利用導數的幾何意義求曲線的切線方程 考查定積分的性質及幾何意義.2 考查利用導數的有關知識研究函式的單調性 極值和最值，進而解 證 不等式.3 用導數解決日常生活中的一些實際問題，以及與其他知識相結合，考查常見的數學思想方法.2.應對策略 首先要理解導數的...
導數與定積分高二複習建議
一 導數 定積分的結構圖及主要知識點 導數是工具，因此在複習中把握四點 1 熟練使用求導四則運算，能準確地求出課標 課本 所要求的基本函式和簡單復合函式的導數 2 明確導數能解決什麼樣的問題？3 求完導數後該做什麼，怎麼做？4 規範導數解答題的答題格式，使答題簡潔而準確。二 考綱讀解 一 導數概念 ...
導數及定積分的應用小測試
選修2 2定積分測試 姓名學號班級 考試時間為50分鐘，滿分110分，填空每個5分，7 8題每題10分，9題20分 1 計算下列定積分的值 12 34 5 6 782 如果10n的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置8cm處，則克服彈力所做的功為 3 一物體沿直線以 ...