一、導數、定積分的結構圖及主要知識點
導數是工具，因此在複習中把握四點：
（1）熟練使用求導四則運算，能準確地求出課標（課本）所要求的基本函式和簡單復合函式的導數；
（2）明確導數能解決什麼樣的問題？
（3）求完導數後該做什麼，怎麼做？
（4）規範導數解答題的答題格式，使答題簡潔而準確。
二、考綱讀解
（一）導數概念：
直接考查概念的試題：
【08北京12】如圖，函式的圖象是折線段，其中的座標分別為，則 2 ；
-2 ．（用數字作答）
（二）．導數的運算：
能利用給出的常見基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數，能求簡單的復合函式（僅限於形如）的導數．
1、常見基本初等函式的導數公式：
(為常數)；，（）；
；；；（且；
；（且．
2、常用導數運算公式：
法則1：．
法則2：．
法則3： ．
學生常見錯題：
例1、（1）（2） （3）
（4） （5） （6）
（7）（二）以圖象的形式考查的試題：
1、【07浙江8】設是函式的導函式，將和的圖象畫在同乙個直角座標系中，不可能正確的是（ d ）
2、右圖是函式的導函式的圖象，給出下列命題：
①是函式的極值點；②是函式的極值點；
③在處切線的斜率小於零；
④在區間上單調遞增.
則正確命題的序號是寫出所有正確命題的序號）
3、【08福建12】已知函式的導函式的圖象如下圖，
那麼圖象可能是（ d ）
（三）理解導數的幾何意義．（切線問題）
1、【09全國ⅰ理9】 已知直線y=x+1與曲線相切，則a的值為( b
a.1b. 2c.-1d.-2
2、【09安徽理9】已知函式在r上滿足，則曲線
在點處的切線方程是a )
a. b. c. d.
3、【09江西文12】若存在過點的直線與曲線和都相切，則等於a
a．或 b．或 c．或d．或
4、【09陝西理16】設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫座標為,令，則的值為 －2
（四）、單調性：
1、求函式的單調區間：
解題步驟：（1）求定義域；沒求真不行；（2）求導；求錯就徹底慘了；
（3）求導解不等式；盡可能地分解因式；（4）求單調區間； 區間能否合併。
例1、【09年廣東文8】函式的單調遞增區間是d )
a. b.(0,3) c.(1,4) d.
例2、【09江蘇3】函式的單調減區間為 （－1，11） .
例3、，求的單調區間。
分析：三次函式確定單調區間，求導轉化為二次不等式時，須注意：
（1）二次函式的開口方向；
（2）二次方程中，兩根的大小關係；
（3）根據需要，對字母係數的分類討論；
。解：當時，，則在上是增函式；
當時，，
令；則的增區間分別為、，減區間為；
當時，令； 則的增區間分別為、，減區間為；
例4、，求，並確定的單調區間。
分析：（1）分式函式、根式函式與對數式函式問題中，先明確函式定義域；
（2）分式不等式的求解——轉化為整式不等式（同解變形）；
（3）根據需要，對字母係數的分類討論；
解：由題得，
當時，在、上分別為減函式；
當時，令的增區間為，減區間分別為、；
當時，令的增區間為，減區間分別為、；
例5、函式，求，並確定的單調區間。
分析：在求解含字母係數的二次不等式的過程中，須注意
（1）若係數含字母，判斷是否二次；
（2）對應二次函式的開口方向：
當，開口向上；當開口向下；
（2）對應二次方程兩根的大小關係；
解： 當時，
的增區間為，減區間為；
當時，在上是增函式；
當時，，
令；的增區間分別為、，減區間為；
當時，，
令；的增區間分別為、，減區間為；
當時，，
令；的增區間為，減區間分別為、；
3、單調性的應用：
例1、【08年湖北7】若上是減函式，則的取值
範圍是c ）
a. b. cd.
（五）、極值、最值問題：
例1、【09遼寧文15】若函式在處取極值，則 3
例2、【07遼寧理12】已知與是定義在上的連續函式，如果與僅
當時的函式值為0，且，那麼下列情形不可能出現的是 （ c ）
a．0是的極大值，也是的極大值
b．0是的極小值，也是的極小值
c．0是的極大值，但不是的極值
d．0是的極小值，但不是的極值
例3、【06天津卷】函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象
如圖所示，則函式在開區間內有極小值點a ）
a．1個
b．2個
c．3個
d． 4個
例4、【07江蘇13】已知函式在區間上的最大值與最小值分別
為，則 32 ．
例5、【07湖南理13】函式在區間上的最小值是 -16 ．
（六）恆成立問題：
例1、已知函式，
（1）若在定義域內為增函式，求實數的取值範圍；
（2）設，當時，求證：恆成
（1）解：由題得：
則， 得轉化
當，，當即時，取「=」。
得： 則，。
（2）證明：當
， 要證，，即轉化
令； 則在上存在唯一的極大值
得：，，， （六）生活中的優化問題
會利用導數解決某些簡單的實際最優問題（即最值問題）．見練習冊
（七）圖象交點問題：
例1、已知函式，；（1）求的單調區間；
（2）若在處取得極值，直線與的圖象有三個不同的交點，求的取值範圍．
定積分（1）被積函式不宜複雜，熟悉常見函式（c為常數）；；
；；；；
；等的原函式求法
（2）注意四種求面積的情況（見筆記）。
（3）有時可利用幾何意義求解定積分
1、【08山東14】設函式，若，，則的值
為 ．
2、【08寧夏海南10】由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（ d ）
（abcd）
3、【09福建4】等於（ d ）
ab. 2c. -2d. +2
4、【09廣東8】已知甲、乙兩車由同一起點同時出發,並沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）．那麼對於圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是a ）
a．在時刻，甲車在乙車前面
b．時刻後，甲車在乙車後面
c．在時刻，兩車的位置相同
d．時刻後，乙車在甲車前面
五、北京市05－09年高考導數試題
4．定積分
七、補充例題
例1．已知函式的導函式為，，且，
如果，則實數的取值範圍為
（a）（） （b） （c） （d）
例2．【09安徽理19】已知函式，討論的單調性.
例3．【09浙江文】已知函式．
（i）若函式的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；
（ii）若函式在區間上不單調，求的取值範圍．
例4．【09天津卷文】設函式.
（ⅰ）當曲線處的切線斜率
（ⅱ）求函式的單調區間與極值；
（ⅲ）已知函式有三個互不相同的零點0，，且。
若對任意的，恆成立，求m的取值範圍。
例5．【09湖南文19】已知函式的導函式的圖象關於直線x=2對稱.
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）若在處取得最小值，記此極小值為，求的定義域和值域。
例6．【09陝西文20】已知函式.
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值範圍。
例7．【09江西文17】設函式
（ⅰ）對於任意實數，恆成立，求的最大值；
（ⅱ）若方程有且僅有乙個實根，求的取值範圍
例8．【09全國ⅱ文21】設函式，其中常數.
（ⅰ）討論的單調性；
（ⅱ）若當時，恆成立，求a的取值範圍.
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