高考文科數學專題複習導數訓練題（文）
一、考點回顧
1.導數的概念及其運算是導數應用的基礎，是高考重點考查的內容。考查方式以客觀題為主，主要考查導數的基本公式和運算法則，以及導數的幾何意義。
2.導數的應用是高中數學中的重點內容，導數已由解決問題的工具上公升到解決問題必不可少的工具，特別是利用導數來解決函式的單調性與最值問題是高考熱點問題。選擇填空題側重於利用導數確定函式的單調性、單調區間和最值問題，解答題側重於導數的綜合應用，即與函式、不等式、數列的綜合應用。
3.應用導數解決實際問題，關鍵是建立恰當的數學模型（函式關係），如果函式在給定區間內只有乙個極值點，此時函式在這點有極大（小）值，而此時不用和端點值進行比較，也可以得知這就是最大（小）值。
二、經典例題剖析
考點一：求導公式。
例1.是的導函式，則的值是
解析：，所以
答案：3
點評：本題考查多項式的求導法則。
考點二：導數的幾何意義。
例2. 已知函式的圖象在點處的切線方程是，則
解析：因為，所以，由切線過點，可得點m的縱座標為，所以，所以
答案：3
例3.曲線在點處的切線方程是
解析：，點處切線的斜率為，所以設切線方程為，將點帶入切線方程可得，所以，過曲線上點處的切線方程為：
答案：點評：以上兩小題均是對導數的幾何意義的考查。
考點三：導數的幾何意義的應用。
例4.已知曲線c：，直線，且直線與曲線c相切於點，求直線的方程及切點座標。
解析：直線過原點，則。由點在曲線c上，則， 。
又， 在處曲線c的切線斜率為， ，整理得：，解得：或（舍），此時，，。
所以，直線的方程為，切點座標是。
答案：直線的方程為，切點座標是
點評：本小題考查導數幾何意義的應用。解決此類問題時應注意「切點既在曲線上又在切線上」這個條件的應用。函式在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件，而不是必要條件。
考點四：函式的單調性。
例5.已知在r上是減函式，求的取值範圍。
解析：函式的導數為。對於都有時，為減函式。由可得，解得。所以，當時，函式對為減函式。
2 當時，。
由函式在r上的單調性，可知當是，函式對為減函式。
7 當時，函式在r上存在增區間。所以，當時，函式在r上不是單調遞減函式。
綜合（1）（2）（3）可知。
答案：點評：本題考查導數在函式單調性中的應用。對於高次函式單調性問題，要有求導意識。
考點五：函式的極值。
例6. 設函式在及時取得極值。
（1）求a、b的值；
（2）若對於任意的，都有成立，求c的取值範圍。
解析：（1），因為函式在及取得極值，則有，．即，解得，。
（2）由（ⅰ）可知，，。
當時，；當時，；當時，。所以，當時，取得極大值，又，。則當時，的最大值為。因為對於任意的，有恆成立，
所以 ，解得或，因此的取值範圍為。
答案：（1），；（2）。
點評：本題考查利用導數求函式的極值。求可導函式的極值步驟：①求導數；
②求的根；③將的根在數軸上標出，得出單調區間，由在各區間上取值的正負可確定並求出函式的極值。
考點六：函式的最值。
例7. 已知為實數，。求導數；（2）若，求在區間上的最大值和最小值。
解析：（1）， 。
（2），。
令，即，解得或， 則和在區間上隨的變化情況如下表：
，。所以，在區間上的最大值為，最小值為。
答案：（1）；（2）最大值為，最小值為。
點評：本題考查可導函式最值的求法。求可導函式在區間上的最值，要先求出函式在區間上的極值，然後與和進行比較，從而得出函式的最大最小值。
考點七：導數的綜合性問題。
例8. 設函式為奇函式，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函式的最小值為。（1）求，，的值；
（2）求函式的單調遞增區間，並求函式在上的最大值和最小值。
解析： （1）∵為奇函式，∴，即
∴，∵的最小值為，∴，又直線的斜率為，因此，，∴，，．
（2）。 ，列表如下：
所以函式的單調增區間是和，∵，，，∴在上的最大值是，最小值是。
答案：（1），，；（2）最大值是，最小值是。
點評：本題考查函式的奇偶性、單調性、二次函式的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力。
3 方法總結
（一）方法總結
導數是中學限選內容中較為重要的知識，由於其應用的廣泛性，為我們解決所學過的有關函式問題提供了一般性方法，是解決實際問題強有力的工具。導數的概念及其運算是導數應用的基礎，是高考重點考查的物件。要牢記導數公式，熟練應用導數公式求函式的導數，掌握求導數的方法。
應用導數解決實際問題的關鍵是要建立恰當的數學模型，了解導數概念的實際背景。應用導數求函式最值及極值的方法在例題講解中已經有了比較詳細的敘述。
4 強化訓練
1. 曲線在點（1，－1）處的切線方程為 （ ）
a． b． c． d．
2. 已知函式的解析式可能為
a． b．
c． d．
3. 函式是減函式的區間為( )
4. 函式在區間上的最大值是（ ）
abcd．
5. 三次函式在內是增函式，則 （ ）
abcd．
6. 函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式在開區間內有極小值點（ ）
a．1個b．2個
c．3個d． 4個
7. 已知曲線，則過點「改為在點」的切線方程是
8. 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元／次，一年的總儲存費用為萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則噸．
9. 已知函式
（1）求的單調減區間；
（2）若在區間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.
10. 設函式，已知是奇函式。
（1）求、的值。
（2）求的單調區間與極值。
11. 已知函式在區間，內各有乙個極值點．
（1）求的最大值；
7 當時，設函式在點處的切線為，若在點處穿過函式的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函式的表示式．
強化訓練答案：
（一）選擇題
（二）填空題
7. 8. 20
（三）解答題
9. 解：（1）令，解得
所以函式的單調遞減區間為
（2）因為
所以因為在（－1，3）上，所以在[－1，2]上單調遞增，又由於在[－2，－1]上單調遞減，因此和分別是在區間上的最大值和最小值.於是有，解得
故因此即函式在區間上的最小值為－7.
10. 解：（1）∵，∴。從而＝是乙個奇函式，所以得，由奇函式定義得；
（2）由（ⅰ）知，從而，由此可知，
和是函式是單調遞增區間；
是函式是單調遞減區間；
在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。
11. 解：（1）因為函式在區間，內分別有乙個極值點，所以在，內分別有乙個實根，
設兩實根為（），則，且．於是
，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．
（2）解法一：由知在點處的切線的方程是
，即，因為切線在點處空過的圖象，
所以在兩邊附近的函式值異號，則
不是的極值點．
而，且．
若，則和都是的極值點．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函式值異號，於是存在（）．
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
設，則當時，，當時，；
或當時，，當時，．
由知是的乙個極值點，則，
所以，又由，得，故．
6 複習建議
重點是利用導數的幾何意義求解與切線有關的綜合性問題求解和多項式函式的導數。有意識地把導數函式的單調性、函式的極值、最值、二次函式、方程等進行交匯，綜合運用。特別是精選一些以導數為工具分析和解決一些函式問題，以及一些實際問題中的最大（小）值問題。
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