關於旋轉體體積公式的推導，其實在第二冊(下)關於體積公式的推導過程中已經滲透了定積分的思想方法．教學中，可通過對球的體積公式的推導及麴邊梯形面積公式的推導作一簡單的回顧，採用模擬的方法，遵循「有限→無限→有限、連續→離散→連續、精確→近似→精確」的原則，化曲為直，化整為零，變未知為已知．
關於旋轉體體積公式的計算，課本例3顯然可直接應用圓錐的體積公式求出圓錐的體積．之所以安排這道例題，是為了讓學生明白用定積分求旋轉體的體積是一種普遍適用的方法，教學中切勿一帶而過．在講完例3後，要注意總結求旋轉體體積的解題步驟．本課的練習要緊緊圍繞旋轉體的體積公式展開，讓學生通過一定的練習，加深對定積分概念的了解，並達到熟練掌握公式的教學效果．
4．本節課是定積分應用的乙個高潮，有必要在知識和能力方面有所突破，即安排一些綜合性較強的例題或課外練習題，讓學有餘力的學生繼續**，以提高他們分析問題與解決實際問題的能力．
教學過程
(一)鋪墊引入，創設情景
1．鋪墊引入
①數軸可表示什麼樣的圖形？
②什麼樣的圖形叫做圓？
③什麼樣的圖形叫做球？(多**演示球的形成過程)
2．創設情景
(1)問題一下列幾何體是如何形成的？(多**演示形成過程)
①圓柱 ②圓錐 ③花瓶
歸納：①什麼叫旋轉體？(平面圖形繞這個平面內的一條直線旋轉一周所成的幾何體)
②旋轉體形成的兩個要素是什麼？(一是被旋轉的平面圖形，二是旋轉軸)
③舉一些日常生活中的旋轉體的例子，並說明被旋轉的平面圖形及旋轉軸分別是什麼．(多**演示一些旋轉體)
(2)問題二如何求旋轉體的體積？
學生展開討論並提出解決的幾種方案，估計會出現下列情況：
①對於特殊的旋轉體(如球、圓柱、圓錐)，可直接運用公式求解；
②對於一般的旋轉體，可用物理中測量不規則物體的體積的方法求解；
③像求曲邊梯形的面積一樣，推導出乙個計算一般的旋轉體的體積公式．
(二)模擬啟迪，推導公式
1．復舊：先回憶曲邊梯形面積公式的推導思路，再回顧球的體積公式的推導過程(多**演示)．
2．模擬：將球的體積公式的推導過程與曲邊梯形面積公式的推導過程進行對比：有限→無限→有限，精確→近似→精確．
3．探求：在計算機中虛擬旋轉體的分割過程的「真實」情景，「放大」微觀世界，然後由師生共同歸納旋轉體體積的推導過程．(如圖55－1)
①分割：將閉區間[a，b]用n－1個分點a＝x0＜x1＜x2＜…＜
②近似代替：過各分點xi作垂直於x軸的平面，將旋轉體割成厚度
個小圓柱體，它的底面半徑可以用區間上任一點ξi的縱座標f(ξi)來近
就可用與這個區間對應的小圓柱的體積來近似代替
③作和：當n很大時，每個薄片可以近似地看作圓柱，圓柱的底面半徑近似地等於區間左端點的函式值．這樣旋轉體的體積近似地等於n個圓柱的體積之和．
④求極限：
4．深化：
[c]a．由y＝x2、y＝0、x＝1、x＝2所圍成的曲邊梯形的面積
b．由y＝x、y＝0、x＝1、x＝2所圍成的曲邊梯形的面積
c．由y＝x、y＝0、x＝1、x＝2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積
d．由y＝x2、y＝0、x＝1、x＝2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積
②思考2：猜想下列圖中陰影部分的圖形繞對稱軸旋轉所得的旋轉體的體積公式
(三)範例講解，運用公式
三角形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積．
解：依題意知直線與兩座標軸圍成的圖形為△osa，其中s(h，0)，a(0，r)．
△osa繞x軸旋轉而成的旋轉體為圓錐．由旋轉體的體積公式得：
歸納：求旋轉體體積的解題步驟：
①根據題意畫出草圖；
②找出曲線範圍，確定積分上、下限和被積函式；
③寫出求體積的定積分表示式；
④計算定積分，求出體積．
變式：利用旋轉體的體積公式，求出底半徑為r、高為h的圓錐的體積公式．學生討論後，歸納出兩種解法：
解法一：(以高所在直線為x軸，以底面半徑所在直線為y軸，建立直角座標系求解．)
解法二：(以高所在直線為y軸，以底面半徑所在直線為x軸，建立直角座標系求解．)
繞x軸旋轉一周所成旋轉體體積的2倍，
y軸旋轉一周所成旋轉體體積的2倍．
轉而成的旋轉體的體積．
(四)練習反饋，鞏固公式
[c]a．單位圓面積的一半
b．以1為半徑的球的表面積的一半
c．以1為半徑的球的體積的一半
d．以1為半徑的球的體積
練習2：由曲線y＝sinx，x∈[0，π]與x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積是________
練習3：橢圓x2＋3y2＝12繞y軸旋轉所得的旋轉體的體積是
[d]b．9π
d．32π
練習4：拋物線y2＝4x被其通徑所截得部分繞x軸旋轉得旋轉體的體積是
[a]a．2b．3π
c．6d．8π
轉體的體積是________
(五)歸納小結，內化公式
布置作業
1．必做題：教科書習題4．4第2、4題．
2．選做題：
(1)複習參考題四(b組)第5題．
(2)(2023年全國新課程高考數學試題)某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中a、a1是雙曲線的頂點，c、c1是冷卻塔上口直徑的兩個端點，b、b1是冷卻塔下口直徑的兩個端點，已知aa1＝14m，cc1＝18m，bb1＝22m．
(ⅰ)建立座標系並寫出該雙曲線方程；
(ⅱ)求冷卻塔的容積(精確到10m3，塔壁厚度不計，π取3.14)．
說明：本題是一道綜合性較強的試題，主要考查了選擇適當座標系建立曲線方程和解方程組等基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力．
定積分在幾何學上的應用 比賽課教案
教學題目 選修2 2 1.7.1定積分在幾何中的應用 教學目標 一 知識與技能 1.讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理 2.通過本節課的 學生能夠應用定積分解決不太規則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法 3 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型...
定積分在數學計算中的若干方法
渭南師範學院 本科畢業 題目 定積分在數學計算中的若干方法 學院 數學與資訊科學學院 專業班級 數學與應用數學專業2009級2班 畢業年份2013年 姓名範鑫 學號090741059 指導教師周煥芹 職稱教授 渭南師範學院教務處制 目錄本科畢業 任務書1 本科畢業 開題報告3 本科畢業 登記表5 本...
1 7 2定積分在物理中的應用閔黨生教師版
課前預習案 學習目標 1.掌握利用定積分求變速直線運動的路程，變力做功 2.提高數學在物理學中的應用能力及 數形結合 的思想方法解決問題的能力 3.感悟學科間的區別與聯絡.自主學習 知識梳理 教材概念梳理出1，2 點 1.變速直線運動物體的路程 位移與定積分的關係 如果做變速直線運動物體的速度 時間...