渭南師範學院
本科畢業**
題目： 定積分在數學計算中的若干方法
學院： 數學與資訊科學學院
專業班級： 數學與應用數學專業2009級2班
畢業年份2023年
姓名範鑫
學號090741059
指導教師周煥芹
職稱教授
渭南師範學院教務處制
目錄本科畢業**任務書1
本科畢業**開題報告3
本科畢業**登記表5
本科畢業**文稿7
渭南師範學院本科畢業**（設計）任務書
注：1. 任務書由指導教師填寫、經系主任及主管院長審批後，在第七學期末之前下達給學生。
2. 文獻查閱指引，應是對查閱內容和查閱方法的指引，即查閱什麼和怎樣查閱。
渭南師範學院本科畢業**（設計）開題報告
注：開題報告是在導師的指導下，由學生填寫。
渭南師範學院本科畢業**（設計）登記表
範鑫（渭南師範學院數學與資訊科學學院數學系 09級2班）
摘要 ：在計算中靈活選出適當的方法和公式以簡化計算過程. 定積分是高等數學微積分的重要組成部分，是一種實用性很強的數學計算方法.
歸納總結定積分在數學計算中若干方法，包括用定義的方法,根據被積函式的奇偶性、對稱性以及具有某些函式特徵的性質來運用定積分的換元積分法、分部積分法對一些常用的定積分計算方法進行歸納總結，從而使在以後的計算中靈活選出適當的方法和公式以簡化計算過程.
關鍵詞 ：定積分；被積函式；換元積分法；分部積分法
定積分的計算在微分學中占有相當重要的位置，也是學好微分學的關鍵和基礎，但在定積分的計算中往往會使很多人感到比較困難.在初接觸定積分時，大多是按定積分的定義來計算的，運算量大而繁雜，因而很多人都對學習定積分感覺比較困難，其實在定積分的計算中是有簡單辦法可以運用的，通過被積函式的特點性質以及對定積分計算方法的歸納總結，從而可以找出一些簡單的解題思路與方法.這裡簡單介紹幾種根據定積分定義、基本性質、被積函式的特點總結歸納出來的具有一般性的計算方法和公式．
1 按照定義計算定積分
定積分的定義法計算是運用極限的思想,簡單的來說就是分割求和取極限.以為例：任意分割,任意選取作積分和再取極限.
任意分割任意取所計算出的i值如果全部相同的話，則定積分存在.如果在某種分法或者某種的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者的取法下計算出來的值不相同，那麼則說定積分不存在.如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取.
但是如果根據上述三類可積函式判斷出被積函式可積，那麼就可以根據積分和的極限唯一性可作的特殊分法，選取特殊的，計算出定積分.
第一步：分割.
將區間分成n個小區間，一般情況下採取等分的形式.，那麼分割點的座標為在上任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的，即左端點，右端點或者中點.經過分割將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.
我們近似的看作是n個小長方形.
第二步：求和.
計算n個小長方形的面積之和，也就是.
第三步：取極限.
，即，也就是說分的越細，那麼小曲邊梯形就越接近小長方形，當n趨於無窮之時，小曲邊梯形也就是小長方形，那麼小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值.
例1 用定義法求定積分.
解因為在連續
所以在可積
令將等分成n個小區間，分點的座標依次為
取是小區間的右端點，即於是
所以，.
2 用牛頓--萊布尼茨公式計算定積分
引理1 若函式在上連續，且存在原函式即=， ，則在上可積，且=-，這稱為牛頓——萊布尼茨公式，它也常寫成=.
有了牛頓——萊布尼茨公示後，計算定積分關鍵就是找的乙個原函式.這就轉化為不定積分的問題了.
例2 求.
解已知=+==-
=.3 換元積分法
定理1 設
1) 函式在區間上連續；
2) 函式在區間上單調,且有連續導數；
3) 時, ,且, ,
則=．該公式稱為定積分的換元積分公式．
運用換元積分法需注意兩點：
第一,引入的新函式必須單調,使在區間上變化時,在區間上變化,且,．
第二,改變積分變數時必須改變積分上、下限,簡稱為換元必換限．
例3 求．
解應用兩種方法.
(1) 應用牛頓—萊布尼茨公式,首先求不定積分（原函式）.
設=,有=.
=所以+是的乙個原函式,由牛頓—萊布尼茨公式,
(2) 應用定積分換元積分公式.
設,有．
當時,；當時,.於是=
顯然上述兩種計算方法,後者使用定積分換元積分公式比較簡便.說明計算定積分有時可避免某些複雜的計算.
利用三角函式進行換元,這類換元多為下面三種情況：
(1)被積函式含有因子,設或進行換元；
(2)被積函式含有因子,設或進行換元；
(3)被積函式含有因子,設或進行換元；
根據被積函式因子的不同形式,通過適當的換元,可以簡化定積分的計算.
1 7 2定積分在物理中的應用閔黨生教師版
課前預習案 學習目標 1.掌握利用定積分求變速直線運動的路程，變力做功 2.提高數學在物理學中的應用能力及 數形結合 的思想方法解決問題的能力 3.感悟學科間的區別與聯絡.自主學習 知識梳理 教材概念梳理出1，2 點 1.變速直線運動物體的路程 位移與定積分的關係 如果做變速直線運動物體的速度 時間...
數學建模思想在數值計算方法教學中的滲透
摘要 本文 了在數值計算方法教學中融入數學建模思想的必要性，並從幾個方面提出了滲透數學建模思想的途徑。關鍵詞 數值計算方法 數學建模 必要性 途徑 中圖分類號 g642.41 文獻標誌碼 a 文章編號 1674 9324 2013 24 0047 02 隨著計算機的飛速發展，幾乎所有學科都走向定量化...
案例教學法在數學物理方法中的應用
摘要 數學物理方法是集物理知識與數學工具為一體的基礎課程，具有理論實踐相結合的特徵，對培養學生工程素質和創新能力有重要作用。本文根據課程性質和多年教學經驗，在地方性本科院校中推行案例教學法改革該課程，用貼近生活 工程應用的小課題構建典型教學案例，進而改革傳統教學方法，使教學內容由淺入深，教學過程深入...