2.1.3 相等向量與共線向量
教材分析
本節內容是數學必修4 第二章第一節的第二課，上一節介紹了向量的概念，並重點說明了向量與數量的區別，然後介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量，本節介紹共線向量、相等向量等基本概念．本節課的教學重點是理解並掌握相等向量、共線向量的概念，能在圖形中辨認相等向量和共線向量；難點是從「平行向量→相等向量→共線向量」的逐步認識，充分揭示向量的兩個要素及向量可以平移的特點．通過本節課的學習讓學生明白向量不同於數量，它是一種新的量，在概念的理解學習上要充分發揮幾何圖形的直觀的特點，使學生在感性認識的基礎上建立概念，並理解概念的實質．
課時分配
本節內容用1課時的時間完成，主要講解相等向量、共線向量的概念．
教學目標
重點: 理解並掌握相等向量、共線向量的概念，能在圖形中辨認相等向量和共線向量．
難點：從「平行向量→相等向量→共線向量」的逐步認識，充分揭示向量的兩個要素及向量可以平移的特點．
知識點：相等向量、共線向量概念的理解.
能力點：平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯絡.
教育點：通過介紹相等向量、共線向量概念，給學生滲透平移變換及數形結合的思想.
自主**點：向量共線與所對應點共線的不同.
考試點：正確理解平行向量、相等向量和共線向量的概念，並能區別.
易錯易混點：向量共線則對應點是否共線.
拓展點：利用向量的方法證明直線與直線的平行問題．
教具準備多**課件和三角板
課堂模式學案導學
一、複習引入
問題1：向量與數量有什麼聯絡和區別？ 向量有哪幾種表示？
問題2：什麼叫向量的模？零向量、單位向量、平行向量分別是什麼概念？
【設計意圖】複習回顧，便於學習新知．
【設計說明】學生回答．
引入：數學中，引進乙個新的量後，為了進一步研究研究的需要，首先要考慮的是如何規定它的「相等」，這是討論這個量的基礎．那麼如何規定「相等向量」呢？
【設計意圖】使學生在已有知識的基礎上，探索新知，引出本課題．
【設計說明】教師指出相等向量正是我們接下來要**的問題．
二、**新知
**一：相等向量
**概念
思考1：因為向量完全由它的方向和模確定．對於兩個非零向量a、b，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？
【設計意圖】主要看學生考慮問題是否全面，培養學生數學思維的嚴謹性．
【設計說明】讓學生通過思考討論出四種情形．
思考2：我們知道兩個向量不能比較大小，只有模等與不等，方向同與不同的區別，那麼我們如何規定兩個向量相等？
【設計意圖】結合問題1的分析，規定出相等向量的概念是非常自然的．
【設計說明】學生思考．
得出概念
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量．
說明：（1）向量a與b相等，記作a =b；
（2）零向量與零向量相等；
思考3:在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段是否表示同乙個向量？
【設計意圖】便於下面知識的說明．
【設計說明】學生口答．
（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，並且與有向線段的起點無關.
【設計意圖】加深對有向線段和向量的理解，便於學生正確理解相等向量的概念．
【設計說明】讓學生獨立思考，自己歸納總結．
理解概念
思考4：對於非零向量和，如果=，通過平移使起點a與c重合，那麼終點b與d的位置關係如何？
生：重合．
思考5：對於非零向量和，如果=，那麼a、b、c、d四點的位置關係有哪幾種可能情形？
學生畫圖尋找答案
【設計意圖】進一步理解相等向量的概念．
【設計說明】學生口答．
**二：共線向量
**概念
思考1：如果兩個非零向量所在的直線互相平行，那麼這兩個向量的方向有什麼關係？
生：方向相同或相反．
思考2：兩個向量的關係是什麼？
生：平行向量．
思考3：將向量平移，不改變其長度和方向．如圖，設a、b、c是一組平行向量，任作一條與向量a所在直線平行的直線l，在l上任取一點o，分別作=a， =b, =c，那麼點a、b、c的位置關係如何？
師生共同：
生：a、b、c三點共線．
師總結：上述分析表明，任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量．
得出概念
共線向量：平行向量也叫共線向量．這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上．
理解概念
思考4：如果非零向量和是共線向量，那麼點a、b、c、d是否一定共線？
生：四點不一定共線．
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區別於兩平行線的位置關係；
（2）共線向量可以相互平行，要區別於在同一直線上的線段的位置關係．
【設計意圖】進一步理解平行向量、共線向量的概念，區別相應直線平行、共線．
【設計說明】讓學生結合上圖自己歸納總結．
三、理解新知
弄清相等向量、平行向量、共線向量三者間的關係：
1.平行向量就是共線向量．
2.相等向量一定是共線向量．
3.共線向量不一定是相等向量．
【設計意圖】進一步理解相等向量、平行向量、共線向量三個概念，弄清它們的區別與聯絡．
【設計說明】組織學生進行思考、交流，得到結論．
四、運用新知
例1. 如圖，設o是正六邊形abcdef的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量．師生活動：學生口答，教師板書．
解：變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）
變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）
變式三：與向量共線的向量有哪些？（）
【設計意圖】讓學生鞏固相等向量與共線向量的概念．
【設計說明】培養學生分析問題、解決問題的能力和良好的解題習慣．
例2.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.
(1)若兩個單位向量共線，則這兩個向量相等；
(2)不相等的兩個向量一定不共線；
(3)向量與是共線向量，則a、b、c、d四點必在一直線上；
(4)兩個向量相等當且僅當它們的起點相同，終點相同共線的向量；
(5)若向量a與b共線，b與c共線,則向量a與c共線；
(6)在四邊形abcd中，向量＝當且僅當abcd是平行四邊形．
解：(1) 不正確．相等向量要求大小相等且方向相同，而共線向量方向可以相反．
(2) 不正確．方向相反的兩個向量不相等但共線．
(3) 不正確．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，並不要求兩個向量在同一直線上．
(4) 不正確．如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同．
(5) 不正確．共線向量即平行向量，規定零向量與任意向量平行，因此b可以是零向量．
(6) 正確．
引申：可利用向量的方法證明直線與直線的平行問題．
【設計意圖】讓學生能夠通過這些問題，弄清向量學習中比較容易混淆的幾個基本概念．
【設計說明】師生共同分析，學生自己找出錯誤的原因．
五、課堂小結
教師提問：本節課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數學思想方法？學生作答：
1．知識：(1)相等向量的定義．
(1)共線向量的定義．
(3)相等向量、平行向量、共線向量三個概念的區別與聯絡．
2．思想：數形結合的思想．
教師總結: 弄清相等向量、平行向量、共線向量三個概念的區別與聯絡，並且明白平行向量、共線向量不是平面幾何中的平行、共線問題．提醒學生：在學習新知時，也要經常複習前面學過的內容,「溫故而知新」．在應用中增強對知識的理解，及時查缺補漏，從而更好地運用知識，解題要有目的性，加強對數學知識、思想方法的認識與自覺運用．
【設計意圖】進行適時小結，讓學生對這次課的學習有個系統的認識，加深學習印象．
六、布置作業
1．書面作業
必做題： 習題2.1 a組第3，4，5題
2.在四邊形abcd中， =，且||=||，判斷四邊形abcd的形狀．
選做題： b組第2題
2．課外思考
在四邊形abcd中， =，且，則四邊形abcd是什麼形狀？
【設計意圖】設計書面作業必做題，是引導學生先複習，再作業，培養學生良好的學習習慣．書面作業的布置，是為了鞏固學習效果；選做題是鼓勵學有餘力的同學進一步加深本節內容的理解；課外思考的安排，是讓學生進一步理解向量的有關概念，起到讓學生課下探索發現、預習新課的作用．
七、教後反思
1.本教案的亮點是相等向量、共線向量的概念是在學生已有的知識基礎上，通過觀察、思考、總結、概括，並相互進行交流得出的，不是生硬的丟擲，而是水到渠成．例題也是變講為練，都是在學生獨立思考後解決的，提高了學生理解問題的能力．
2.由於各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在概念的理解上下足功夫．
3.本節課的弱項是由於時間所限，在課堂上沒有充分暴露學生的思維過程，沒有很好的調動學生的積極性與主動性．
八、板書設計
平面向量的座標表示
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文字的空間向量表示模型
文字空間向量模型的主要思想是 將每乙個文字表示為向量空間的乙個向量，並以每乙個不同的特徵項 詞條 對應為向量空間中的乙個維度，而每乙個維的值就是對應的特徵項在文字中的權重。向量空間模型就是將文字表示成為乙個特徵向量 其中為文件d中的特徵項為的權重，一般取為詞頻的函式。一般選取詞作為文件向量的特徵項,...
7 2 2向量線性運算的座標表示
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