教學目的
1．理解變上限定積分的含義及性質。
2．理解牛頓—萊布尼茲公式成立的條件，能熟練運用公式計算定積分。
3．熟悉定積分的換元積分法和分部積分法，會運用。
教學重點
理解牛頓—萊布尼茲公式成立的條件，能熟練運用公式計算定積分
教學難點
定積分的換元積分法和分部積分法，會運用。
課外作業
習題13.5 a組，b組
教學過程
一、牛頓-萊布尼茲公式
1．變上限的定積分
定義5.1 設函式在區間上可積，則對於任意的，在上也可積，稱積分為變上限的定積分
因為給定乙個，就有乙個積分值與它對應，所以積分是上限為x的函式，通常用表示，這裡積分變數和積分上限都用表示，但是他們的含義是不同的，為了避免混淆，將積分變數改用來表示，
即 （）
變上限定積分的幾何意義如圖所示。
定理5.1 如果函式在區間上連續，則函式在上可導，並且它的導數等於被積函式，即
由定理5.1可知，變上限的定積分是函式在區間上的乙個原函式，也就是連續函式的原函式一定存在，因此，定理5.1又稱為原函式存在定理。
例1 已知，求在和處的導數
解：由定理5.1可知，，所以
，2.牛頓-萊布尼茲公式
定理5.2 （微積分基本定理）設函式在上連續，是的任意乙個原函式，則
證明略。
公式稱為牛頓-萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式，該公式揭示了定積分與原函式之間的內在聯絡，從而把定積分的計算問題轉化為求被積函式的原函式問題，從而為定積分提供了簡便而有效的計算方法，
例2 計算下列定積分
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）（3）例3 設函式，計算
解：練習13.5.1
二、定積分的換元法
定理5.3 設函式在區間上連續，函式在上單值且有連續導數，並且，則有
公式稱為定積分的換元公式
例4 計算下列定積分
（12）
解：（1）令，且噹噹，
於是有（2）令，則，噹噹
於是有例5 計算下列定積分
（12）（）
解：（1）令，則，噹噹
於是有 （2）令，，則
噹噹於是有
例6 運用湊微分法計算例4中的不定積分
解：（1）
（2）練習13.5.2
三、定積分的分部積分法
設函式在區間上均有連續導數，則
例7 計算下列定積分
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）（3）練習13.5.3
定積分計算技巧
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