1. 定積分的幾何意義
例1解法1 由定積分的幾何意義知，等於上半圓周()與軸所圍成的圖形的面積．故=．
2. 利用積分不等式
例1.求,為自然數．
解法利用積分不等式
因為,而,所以
．例2. 求．
解法因為，故有
．於是可得
．又由於．因此
=．3.利用被積函式的奇偶性求定積分．
例1. 計算．
分析由於積分區間關於原點對稱，因此首先應考慮被積函式的奇偶性．解 =．由於是偶函式，而是奇函式，有, 於是===由定積分的幾何意義可知, 故
．例2. 計算.
解雖然在上即不是奇函式，也不是偶函式，更不能直接求出原函式，但我們可以利用得原式.
4.設f(x)為週期函式且連續，週期為t，則.
事實上由於於是
例1.設表示距離x最近整數的距離，計算
解由且為週期函式，週期為1，於是
5.利用積分中值定理
例1. 求,為自然數．
解法利用積分中值定理
設, 顯然在上連續, 由積分中值定理得
, ,當時, , 而, 故
．例2. 求．
解法由積分中值定理可知又且，
故．6.利用適當變數變換求定積分
例1. 設f(x)在[0，1]上連續，計算解設於是
得例2.設函式f(x)在內滿足且，計算
解法一解法二當時，於是
例46 設
解原式7.利用定積分公式
公式1：設f(x)在[0,1]上連續，則
事實上移項兩邊同除以2得.
公式2： 記
於是由於遞推公式每次降2次，要討論n為奇偶數的情形，由公式3：
證 由，知的週期為，當然也是它的週期，利週期函式定積分的性質，有而由於2n是偶數，故
公式4. 證
例54 證明.
證 公式5設f(x)在[0,1]上連續，則.
證由是為週期的函式，當然也是以為週期的函式，知也是以為週期的函式，於是
公式6證
公式7.
證 例1. 計算.
解利用方法（7）得原式
13 5定積分的計算備課筆記
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