二次函式的影象與性質
要點一、二次函式與之間的相互關係
1.頂點式化成一般式
將頂點式去括號，合併同類項就可化成一般式．
2.一般式化成頂點式
．對照，可知，．
∴ 拋物線的對稱軸是直線，頂點座標是．
要點詮釋：
求拋物線的對稱軸和頂點座標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用．
例1．求拋物線的對稱軸和頂點座標．
【答案與解析】
解法1（配方法）：
．∴ 頂點座標為，對稱軸為直線．
解法2（公式法）：∵ ，，，
∴，．∴ 頂點座標為，對稱軸為直線．
解法3（代入法）：∵ ，，，
∴ ．將代入解析式中得，．
∴ 頂點座標為，對稱軸為直線．
【總結昇華】所給二次函式關係是一般式，求此類拋物線的頂點有三種方法：（1）利用配方法將一般式化成頂點式；（2）用頂點公式直接代入求解；（3）利用公式先求頂點的橫座標，然後代入解析式求出縱座標．這三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用．
舉一反三：
【變式】把一般式化為頂點式．
（1）寫出其開口方向、對稱軸和頂點d的座標；
（2）分別求出它與y軸的交點c，與x軸的交點a、b的座標.
要點二、二次函式的圖象的畫法
1.一般方法：列表、描點、連線；
2.簡易畫法：五點定形法.
其步驟為：
(1)先根據函式解析式，求出頂點座標和對稱軸，在直角座標系中描出頂點m，並用虛線畫出對稱軸．
(2)求拋物線與座標軸的交點，
當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點a、b及拋物線與y軸的交點c，再找到點c關於對稱軸的對稱點d，將a、b、c、d及m這五個點按從左到右的順序用平滑曲線鏈結起來．
要點詮釋：
當拋物線與x軸只有乙個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點c及對稱點d，由c、m、d三點可粗略地畫出二次函式圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點a、b，然後順次用平滑曲線鏈結五點，畫出二次函式的圖象，
要點三、二次函式的圖象與性質
1.二次函式圖象與性質
2.二次函式圖象的特徵與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關係
要點四、求二次函式的最大（小）值的方法
如果自變數的取值範圍是全體實數，那麼函式在頂點處取得最大（或最小）值，即當時，．
例2．求二次函式的最小值.
【答案與解析】
解法1(配方法)：∵
當x＝-3時，．
解法2(公式法)：∵ ，b＝3，
∴ 當時，
． 解法3(判別式法
x是實數，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．
y有最小值-4，此時，即x＝-3．
【總結昇華】在求二次函式最值時，可以從配方法、公式法、判別式法三個角度考慮，根據個人熟練程度靈活去選擇．
舉一反三：
【變式】用總長60m的籬笆圍成矩形場地．矩形面積s隨矩形一邊長l的變化而變化．當l是多少時，矩形場地的面積s最大？
一、選擇題
1. 將二次函式化為的形式，結果為（ ）．
a． b． c． d．
2．已知二次函式的圖象，如圖所示，則下列結論正確的是（ ）．
a． b． c． d．
3．若二次函式配方後為，則b、k的值分別為（ ）．
a．0，5 b．0，1 c．-4，5 d．-4，1
4．拋物線的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式
為，則b、c的值為（ ）．
b. b=2，c=0 c. b= -2，c= -1 d. b= -3，c=2
5．已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點(3，0)，則a+b+c的值( )
a. 等於0 b.等於1 c. 等於-1 d. 不能確定
6．二次函式y=ax2+bx+c與一次函式y=ax+c，它們在同一直角座標系中的圖象大致是( )
二、填空題
7．二次函式的最小值是________．
8．已知二次函式，當x＝-1時，函式y的值為4，那麼當x＝3時，函式y的值為________．
9．二次函式的圖象經過a(-1，0)、b(3，0)兩點，其頂點座標是
10．二次函式的圖象與x軸的交點如圖所示．根據圖中資訊可得到m的值是________．
第10題第11題
11．如圖二次函式y=ax2+bx+c的圖象開口向上，圖象經過點(-1，2)和(1，0)且與y軸交於負半軸
第①問：給出四個結論：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正確的結論的序號是
第②問：給出四個結論：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正確的結論的序號是
12．已知二次函式y=x2-2x-3的圖象與x軸交於點a、b兩點，在x軸上方的拋物線上有一點c，且△abc的面積等於10，則c點的座標為__ __.
三、解答題
13．（1）用配方法把二次函式變成的形式；
（2）若，是函式圖象上的兩點，且，比較、的大小．
14.已知拋物線：
(1)求拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標；
(2)畫函式圖象，並根據圖象說出x取何值時，y隨x的增大而增大？x取何值時，y隨x的增大而減小？函式y有最大值還是最小值？最值為多少？
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