知識聚焦：
1.等比數列的定義和通項公式.
定義 =q(q是乙個不為零的常數，叫公比)，公比q可以是正數，也可以是負數，但不為零，且首項a1≠0
或｛an｝遞增
或｛an｝遞減
q=1｛an｝為常數列
q＜0｛an｝是擺動數列
通項公式：an=a1qn-1
2.等比中項
若a，g，b成等比數列，那麼g叫a與b的等比中項，且g2=ab,g=±.只有同號的兩個數才有等比中項，等比中項有二個，它們互為相反數，這一點與等差中項不同.
g2=ab僅是a，g，b成等比數列的必要條件，不是充分條件.
對連續奇數個項成等比數列且積一定可設為…，，x，xq，…公比為q.
對同號連續偶數個項成等比數列且積一定，可設為：…，，xq，xq3…公比q2＞0.
3.等比數列的判定方法：
①an+1=anq(q是不為0的常數n∈n+)｛an｝是等比數列.
②an=cqn(c，q均不是為0的常數n∈n+)｛an｝是等比數列.
③a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈n+)｛an｝是等比數列.
4.等比數列a1，a2，a3，…an，…的性質.
①an=am·qn-m；
②若m+n=p+q，則am·an=ap·aq；
③每隔k項(k∈n+)取出一項，按原來順序排列，所得的新數列仍為等比數列；
④a1·a2，a3·a4，a5·a6，…，仍成等比數列；
⑤在等比數列中，從第二項起，每一項都是與它等距離的前後兩項的等比中項.
4.前n項和sn=
經典例題：
例1 等比數列｛an｝的前n和等於2，緊接其後的2n項和等於12，再緊接其後的3n項和為s，求s.
分析本題主要考查等比數列前n項和公式的應用.本題實際為已知sn=2，s3n-sn=12，要求s6n-s3n的值.由等比數列知，前n項成等比數列，緊接其後的2n項也成等比數列，再緊接的3n項也成等比數列，可分別求和列方程.
解：在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列.設前n項和為s1，第2個n項和為s2=s1q，
由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.
將q=2代入③式得s=112，將q=-3代入③式得s=-378.
例2 設等比數列｛an｝的公比與前n項和分別為q與sn，且q≠1,s10=8.求的值.
分析乙個條件不能確定a1與q.不妨將s10與s20用a1、q表示出來，進行對比，興許有點門道.
解：∵ =8,
∴==8.
例3 等比數列前項和與積分別為s和t，數列的前項和為，
求證：證：當時，，，，
∴，（成立）
當時，，
，（成立）
綜上所述：命題成立。
例4 設首項為正數的等比數列，它的前項之和為80，前項之和為6560，且前
項中數值最大的項為54，求此數列。
解：代入（1），，得：，從而，
∴遞增，∴前項中數值最大的項應為第項。
此數列為
基礎演練：
1、數列前n項的和sn=3n+b(b是常數)，若這個數列是等比數列,那麼b為( c )
(a)3b) 0c)-1d)1
2、lg,lgy成等比數列,且x>1,y>1,則xy的最小值為( b )
(a)100b)10c)10d)5
3、已知數列的前n項和為sn=3n+k(k為常數),那麼下列結論正確的是 ( b )
(a)k為任意實數時,為等比數列 (b)k= -1時,為等比數列
(c)k=0時,為等比數列d)不可能為等比數列
4、設za=3，zb=6，zc=12，則數a、b、ca )
(a)是等差數列，但不是等比數列 (b)是等比數列，但不是等差數列
(c)既是等差數列，又是等比數列 (d)既不是等比數列，又不是等差數列
5．若(an＞0)成等比數列且a1a100=64，則log2a1+log2a2+…+log2a100=__300____．
6．若a，b，c成等差數列，同時又成等比數列，則a，b，c間的關係為_ a=b=c _____．
7． 若為等比數列，且a1a100=64，則log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a100= 300_
8．有四個數，前三個數成等比數列，其積為216，後三個數成等差數列，其和為12，則此四數是__9，6，4，2．____．
能力提公升
1、下列命題中正確的是c )
(a)若a，b，c是等差數列，則log2a，log2b，log2c是等比數列
(b)若a，b，c是等比數列，則log2a，log2b，log2c是等差數列
(c)若a，b，c是等差數列，則2a，2b，2c是等比數列
(d)若a，b，c是等比數列，則2a，2b，2c是等差數列
2、已知自然數m，n，p，r滿足m＋n=p＋r，則等比數列必定滿足( a )
(a) =；(b) ； (c)am＋an=ap＋ar ；； (d) am－an=ap－ar；
3、等比數列中，已知對任意自然數n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，則
a12＋a22＋a32＋…+an2等於d )
(a) (b) (cd)
4、在等比數列中，若 a3 –a1 =8, a4 – a3 =18, 則 a2 = ___ 3 或
5、已知等比數列，公比q=且a1+a3+…+a49=30,則a1+a2+a3+…+a50=__ 45 ______
6、設是由正數組成的等比數列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，則a3a6a9…a30等於___220____
7．在數列中，前n項和sn=an2+bn，其中a＞0，a+b＞1，數列．
解．可求得是以a+b為首項，公差為2a的等差數列．
∴是遞減數列．
個性天地：
1．設是等比數列，公比為q＞0，q≠1，若a=a1+a2+…+an，
綜上可得當a1＞0時2bnc2＞an 當a1＜0時 n為偶數時 2bnc2＞an
n為奇數時 2bnc2＜an．
2、已知等比數列的通項公式且：，
求證：成等比
證：∵∴bn}成等比
3．是否存在數列，其前項和sn組成的數列也是等比數列，且公比相同？
解：設等比數列的公比為q，如果是公比為q的等比數列，則：
∴所以，這樣的等比數列不存在。
《等比數列》講義
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