習題五1.一顆骰子連續擲4次，點數總和記為x.估計p=0.8.
現要求n,使得
即由中心極限定理得
整理得查表
n≥268.96, 故取n=269.
3. 某車間有同型號工具機200部，每部工具機開動的概率為0.7，假定各工具機開動與否互不影響，開動時每部工具機消耗電能15個單位.
問至少**多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產.
【解】要確定最低的**的電能量，應先確定此車間同時開動的工具機數目最大值m，而m要滿足200部工具機中同時開動的工具機數目不超過m的概率為95%,於是我們只要**15m單位電能就可滿足要求.令x表同時開動工具機數目，則x~b（200，0.7）,
查表知m=151.
所以供電能151×15=2265（單位）.
4. 一加法器同時收到20個雜訊電壓vk（k=1，2，…，20），設它們是相互獨立的隨機變數，且都在區間（0，10）上服從均勻分布.記v=，求p的近似值.
【解】易知:e(vk)=5,d(vk)=,k=1,2,…,20
由中心極限定理知，隨機變數
於是即有p≈0.348
5. 有一批建築房屋用的木柱，其中80%的長度不小於3m.現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短於3m的概率是多少？
【解】設100根中有x根短於3m，則x~b（100，0.2）
從而6. 某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對於醫治一種疑難的血液病的**率為0.8.
醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多於75人**，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.
（1） 若實際上此藥品對這種疾病的**率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？
（2） 若實際上此藥品對這種疾病的**率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？
【解】令
(1) x~b(100,0.8)，
(2) x~b(100,0.7)，
7. 用laplace中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.
【解】令1000件中廢品數x，則
p=0.05,n=1000,x~b(1000,0.05)，
e(x)=50，d(x)=47.5.
故8. 設有30個電子器件.它們的使用壽命t1，…，t30服從引數λ=0.
1[單位：（小時）-1]的指數分布，其使用情況是第乙個損壞第二個立即使用，以此類推.令t為30個器件使用的總計時間，求t超過350小時的概率.
【解】故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那麼在年計畫中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）.
【解】設至少需n件才夠用.則e(ti)=10，d(ti)=100，
e(t)=10n，d(t)=100n.
從而即故
所以需272a元.
10. 對於乙個學生而言，來參加家長會的家長人數是乙個隨機變數，設乙個學生無家長、1 名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.
8,0.15.若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長數相與獨立，且服從同一分布.
（1） 求參加會議的家長數x超過450的概率？
（2） 求有1名家長來參加會議的學生數不多於340的概率.
【解】（1） 以xi(i=1,2,…,400)記第i個學生來參加會議的家長數.則xi的分布律為
易知e（xi=1.1）,d(xi)=0.19,i=1,2,…,400.
而,由中心極限定理得
於是(2) 以y記有一名家長來參加會議的學生數.則y~b(400,0.8) 由拉普拉斯中心極限定理得
11. 設男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少於男孩的概率？
【解】用x表10000個嬰兒中男孩的個數，則x~b（10000，0.515） 要求女孩個數不少於男孩個數的概率，即求
p. 由中心極限定理有
12. 設有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計，在一次行動中：
（1）至少有多少個人能夠進入？
（2）至多有多少人能夠進入？
【解】用xi表第i個人能夠按時進入掩蔽體（i=1,2,…,1000）.
令sn=x1+x2+…+x1000.
(1) 設至少有m人能夠進入掩蔽體，要求p≥0.95，事件
由中心極限定理知：從而故
所以m=900-15.65=884.35≈884人
(2) 設至多有m人能進入掩蔽體，要求p≥0.95.
查表知=1.65,m=900+15.65=915.65≈916人.
13. 在一定保險公司裡有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內乙個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領得1000元賠償費.求：
（1） 保險公司沒有利潤的概率為多大；
（2） 保險公司一年的利潤不少於60000元的概率為多大？
【解】設x為在一年中參加保險者的死亡人數，則x~b（10000，0.006）.
(1) 公司沒有利潤當且僅當「1000x=10000×12」即「x=120」.
於是所求概率為
(2) 因為「公司利潤≥60000」當且僅當「0≤x≤60」 於是所求概率為
14. 設隨機變數x和y的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關係數為0.5試根據契比雪夫不等式給出p的估計2001研考）
【解】令z=x-y，有
所以15. 某保險公司多年統計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶佔20%，以x表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數.
（1） 寫出x的概率分布；
（2） 利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少於14戶且不多於30戶的概率近似值.
（1988研考）
【解】（1） x可看作100次重複獨立試驗中，被盜戶數出現的次數，而在每次試驗中被盜戶出現的概率是0.2，因此，x~b(100,0.2)，故x的概率分布是
(2) 被盜索賠戶不少於14戶且不多於30戶的概率即為事件的概率.由中心極限定理，得
16. 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大於0.
977.
【解】設xi（i=1,2,…,n）是裝運i箱的重量（單位：千克），n為所求的箱數，由條件知，可把x1，x2，…，xn視為獨立同分布的隨機變數，而n箱的總重量tn=x1+x2+…+xn是獨立同分布隨機變數之和，由條件知：
依中心極限定理，當n較大時，,故箱數n取決於條件
因此可從解出n<98.0199,
即最多可裝98箱.
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