圖形求積的探索與應用
本專題要解決的關鍵問題
1、如何幫助學生在圖形測量過程中感悟數學思想，積累數學活動經驗。
2、如何在圖形測量的過程中，培養學生的估測意識和能力，體驗解決問題方法的多樣性。
3、如何以圖形的測量為載體，培養學生的推理能力。
其實對於圖形，人們往往首先關注它的大小。一般地說，一維圖形的大小是長度，二維圖形的大小是面積，三維圖形的大小是體積。圖形的大小是可以度量的，而度量的實際操作就是測量。
新課程標準對於圖形測量（求積）的內容提出了具體的要求，要讓學生掌握一些基本圖形的長度（包括周長）、面積和體積的測量方法和公式，在具體問題中進行恰當的估測。
同時，課程內容要反映數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是基礎知識的靈魂，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。
一、如何幫助學生在圖形測量過程中感悟數學思想，積累數學活動經驗。
以圓為例：
圓是第一、二學段學習的平面圖形中唯一的乙個曲線圖形，對它的周長以及面積的探索和公式的給出都具有一定的挑戰性，需要學生經歷分析圓的半徑與周長關係的過程，並通過對特殊情況的歸納得出圓的面積公式。這個過程有助於學生提高分析問題、解決問題的能力，獲得數學活動的經驗，體會「轉化」 和「極限」的思想。
轉化思想的滲透：
如：在探索圓的周長與直徑的關係的過程中，讓學生經歷圓周長的測量過程。（課件演示）測量方法一：
用圓片在直尺上滾動，測量長度；測量方法二：用線繞圓片一周，把線拉直然後測量線的長度。這樣既積累了測量的經驗，又可以滲透化曲為直的轉化思想。
再如：在圓的面積公式的推導過程中，引導學生將圓轉化成已學過的長方形，三角形、梯形等圖形，利用舊圖形的面積公式推導圓的面積公式。讓學生充分感受轉化的數學思想。(課件演示)
極限思想的滲透：
如：在圓的周長教學中，向學生介紹「割圓術」，讓學生經歷正多邊形到圓的形成過程，引導學生觀察體驗，隨著邊數越來越多，正多邊形越來越像圓，感極限思想。
可以設計用小棒擺乙個正三角形、正四邊形、正六邊形、正八邊形、……
讓學生認真觀察，說說你的想法。
還可以借助電腦體會割圓的過程：
讓學生從感官上體會「割之彌補，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣。」從而感受極限的數學思想。
函式思想的滲透：
在統計測量資料、填表、觀察、發現周長與直徑的關係的過程中，讓學生體驗直徑變，圓的大小變，周長也隨之變化，而它們的倍數關係不變，從而感受函式思想。
微積分思想的滲透：
在圓柱體體積公式的推導過程中，可以引導學生把圓柱體看成是相同大小的圓堆積而成，從而推導出圓柱體的體積公式。向學生滲透微積分思想。（課件演示）
數學思想方法是學生認識事物、學習數學的基本依據，是學生數學素養的核心，是處理數學問題的指導思想和基本策略。它伴隨學生知識、思維的發展逐漸被理解，而數學思想方法的感悟是在學生數學活動中積累的。學生只有在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，才能逐步感悟數學思想方法。
二、如何在圖形測量的過程中，培養學生的估測意識和能力，體驗解決問題方法的多樣性。
估測或估計是《標準》突出強調的內容。估測或估計，既是一種意識的體現，也是一種能力的表現；不僅具有現實的意義，而且也有助於學生感受度量單位的大小。
估測的意識和能力是在實踐中發展起來的。《標準》要求「能估測一些物體的長度，並進行測量」，還要求「探索不規則圖形的周長、面積、體積」。通過這樣的測量，學生不僅能進一步加深對度量意義的理解，而且能在運用所學知識解決問題的過程中，體會學科之間的聯絡，感悟數學思想。
案例: 測量不規則圖形的面積
圖中每個小方格為1個面積單位，試估計曲線所圍成的面積。
如圖一:
教師們對此題目並不陌生，解決這個問題通常的做法是數方格。先數一數有多少個整格，再數一數有幾個半格，把不滿整格的進行整合,最後累加起來,用此方法估計不規則圖形的面積。這是我們常用的方法。
但是這種估算不規則圖形面積的方法並沒能體現估算的價值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內涵。充分體現該題的數學教育價值。
教學時教師可以幫助學生事先做好規劃，鼓勵學生運用不同的方法估計圖形的面積。例如，教學中教師可以啟發學生首先觀察圖形，邊觀察邊進行思考「你認為曲線所圍成的面積結果可能會在那個範圍之間呢？你能用已有的經驗來解決這個問題嗎？
」 教師可以引導學生試一試。首先選擇好用來估計的「單位」即：以圖形中的乙個小方格為乙個單位。
再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學生可以這樣操作，先數出曲線圍成圖形內包含的完整小方格數，用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的下界（有75個這樣的單位）；然後再數出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數，也用彩色筆將它圈出來，估計出這個曲線圍成圖形面積的上界（有113個這樣的單位）。進一步引導學生發現，第一種方法估計的比實際面積小，第二種方法估計的比實際面積大，實際的面積是在這兩個數之間。
由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值範圍。
如圖二：
(圖二)
在此基礎上教師可以鼓勵引導學生用自己的方法進行估計，通過記錄、計算、比較的**過程，體會估算的意義和方法。
教師繼續追問「那麼還有什麼方法能使估算的結果更接近實際面積的嗎？試一試！」對學有餘力的學生無疑是提出了更富有挑戰性的問題。
引導學生將所有的方格等分成更小的方格，繼續利用上面的經驗，探索出更接近實際面積的估計值。滲透極限思想。
如圖三:
圖三)「數方格」的設計沒能充分體現估算的學習價值，只是把估算當成乙個操作技能去教了，為了教估算而估算。「尋找區間」的設計則注重學生估算意識和方法的培養。特別是選擇合適的估計「單位」是引導學生進行有效估算的關鍵，引導學生體驗逐漸逼近的極限思想。
教學過程中教師要注重幫助學生養成事先做好規劃的習慣，啟發學生運用不同的方法估計圖形的面積。通過對上界、下界的確定，幫助學生尋求取值範圍，找到合適的區間。這個上界、下界的確定，對學生體驗估算是很有意義的。
這是真正意義上估算價值的體現。 特別是通過教師引導學生將方格等分成更小的方格，使估計值更逼近準確值，從中滲透「極限」的數學思想。這對學生的數學學習是很有意義的。
三、如何以圖形的測量為載體，培養學生的推理能力。
案例:平行四邊形面積公式的推導
一、引導學生大膽嘗試、猜想
在前面學習長正方形面積的基礎上,讓學生大膽的猜測一下，平行四邊形的面積公式。
猜想結果：
生1：底邊×鄰邊
生2：底邊×高
二、借助學具檢驗猜想
利用網格圖，測量平行四邊形的面積。
發現測量結果=底邊×高從而檢驗了自己的猜想
三、自主**，驗證結論
將平行四邊形沿高剪開，平移，拼成乙個長方形，找到平行四邊形與長方形的聯絡，利用長方形的面積公式，推導出平行四邊形的面積公式。從而驗證了結論。
我覺得這個探索活動的設計，把推理能力的發展貫穿在整個數學學習過程中。讓學生經歷了觀察、猜想、證明的過程，不僅有助於理清思路、發現結論，而且將合情推理和演繹推理有機的結合，有助於發展學生的邏輯思維能力，有利於實現「增強（學生）發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力」 。
「推理」是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。 「在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用於探索思路，發現結論；演繹推理用於證明結論」。
合情推理是或然性推理，演繹推理是必然性推理。數學不僅需要演繹推理，同樣需要合情推理。
總之，圖形測量的相關知識對每個學生的學習和適應未來的生活非常有用，測量過程中蘊涵的方法和思想有助於學生提高分析問題和解決問題的能力。我們在教學中，一定要重視面積、體積等公式的推導過程，在推導公式的過程中讓學生體會數學的思想方法，找到知識之間的聯絡，學會學習的方法，為今後的進一步學習打下堅實的基礎。
布置作業
1、選擇題
在圓的面積公式的推倒過程中，滲透的數學思想有（ ）
a、極限思想 b、模擬思想 c、函式思想 d、轉化思想
2、開放題
（1）在圖形測量的過程中,還哪些地方滲透了數學思想和方法,請舉例說明。
（2）圓的面積教學思考
◆第一節課教師引導學生將16個扇形拼成不同的圖形—在拼上下功夫。下面是學生拼的圖形:
◆第二節課教師鼓勵學生自由嘗試解決圓的面積的問題。下面是學生的做法：
（1）圓中畫乙個內接四邊形。
（2）圓中畫小方格。
（3）教材中的「切蛋糕」。
思考：①在上述的兩個教學案例中，哪個學生的活動是富有數學價值的？說說您的理由。
②學生的想法和教材上的想法有沒有什麼聯絡？教材中為什麼要「切蛋糕」？
③面對學生的想法，您在教學設計中如何處理？
電子文字和拓展閱讀資源
拓展閱讀資源1： 「周長」教學實錄與評析
來自小學青年教師數學版 2023年8月（總第328期）
拓展閱讀資源2： 面積和周長 -----節澳大利亞數學課的思考
來自廣博文采外國教育 2004 年 10 月（總第 298 期）
來自小學青年教師數學版 2023年3月（總第318期）
思考問題1：什麼是空間觀念，圖形測量中的空間觀念體現在哪些方面？
思考問題2：學生在圖形測量中的主要困難有哪些？
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