年級班姓名得分
一、填空題
1. 下圖中長方形（包括正方形）總個數是_____.
2. 下圖中有正方形_____個,三角形_____個,平行四邊形_____個,梯形_____個.
3. 下圖中共出現了_____個長方形.
4. 先把正方形平均分成8個三角形.再數一數,它一共有_____個大小不同的三角形.
5. 圖形中有_____個三角形.
6．如下圖,乙個三角形分成36個小三角形.把每個小三角形塗上紅色或藍色,兩個有公共邊的小三角形要塗上不同的顏色,已知塗成紅色的三角形比塗成藍色的三角形多,那麼多_____個.
7. 右圖是由小立方體碼放起來的,其中有一些小方體看不見.圖中共有_____個小立方體.
8. 下圖中共有_____個正方形.
9. 有九張同樣大小的圓形紙片,其中標有數碼「1」的有1張；標有數碼「2」的有2張；標有數碼「3」的有3張，標有數碼「4」的也有3張。把這九張圓形紙片如下圖所示放置在一起，但標有相同數碼的紙片不許靠在一起，問：
如果m位上放置標有數碼「3」的紙片，一共有_____種不同的放置方法.
10. 如下圖,在2×2方格中,畫一條直線最多可穿過3個方格,在3×3方格中,畫一條直線最多可穿過5個方格.那麼10×10方格中,畫一條直線最多可穿過_____個方格.
二、解答題
11. 把一條長15cm的線段截為三段，使每條線段的長度是整數，用這三條線段可以組成多少個不同的三角形？（當且僅當兩三角形的三條邊可以對應相等時，我們稱這兩個三角形是相同的.）
12. 有一批長度分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘公尺的細木條,它們的數量都足夠多,從中適當選取3根木條作為三條邊.可圍成乙個三角形,如果規定底邊是11厘公尺長,你能圍成多少個不同的三角形?
13. 下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形,它們一共有16個頂點(共同的頂點算乙個),以其中不在一條直線上的3個點為頂點,可以構成三角形.在這些三角形中,與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個?
14. 有同樣大小的立方體27個,把它們豎3個,橫3個,高3個,緊密地沒有縫隙地搭成乙個大的立方體(見圖).如果用1根很直的細鐵絲紮進這個大立方體的話,最多可以穿透幾個小立方體?
答案 1. 90
利用例1和例4公式可直接計算:
(5+4+3+2+1)×(3+2+1)
=15×6
=90(個)
[注]注意,由長方形、正方形的意義可知，正方形一定是長方形，但反之不然.故求長方形個數時,不必把正方形分開考慮.
2. 3個正方形; 18個三角形; 6個平行四邊形; 8個梯形.
3. 18
根據這個圖形的特點,我們先數出下圖(1)中長方形的個數為(2+1)×(2+1)=9個；然後在圖(1)的內部添上乙個長方形得到圖(2).這時新產生的長方形有(2+1)×(2+1)=9個.至此已將圖(1)還原為題圖,同時題圖中的長方形已全部數完.
因此,原圖中共有長方形.
(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(個).
12) 4. 16
具體分法如下圖所示.基中小三角形有8個,由兩個小三角形組成的三角形有4個,由四個小三角形組成的三角形有4個,所以共有三角形8+4+4=16(個).
5. 72
把圖中最小三角形作為基數,然後按含有幾個基數的三角形分類進行解答.
含乙個基數的三角形,共有16個；含兩個基數的三角形，共有24個；含四個基數的三角形，共有20個；含八個基數的三角形，共有8個；含十六個基數的三角形，共有4個.因此,整個圖形中共有
16+24+20+8+4=72(個)三角形.
6. 6
圖中的三角形可分成兩種,一種是尖頭向上的,一種是尖頭向下的.從圖上可以看出,每種三角形必須塗成同一顏色.為了使塗紅色的三角形比塗藍色的三角形多,尖頭向上的三角形要塗紅色.
每一橫排,尖頭向上的三角形要比尖頭向下的三角形多乙個,共有6排,因此,塗紅色的比塗藍色的三角形多6個.
7. 38
將原立體圖形從左至右分類計算,共有16+9+5+7+1=38個.
8. 115
單獨的乙個4×4的方格中有12+22+32+42=30個正方形,兩個4×4的方格如原圖重疊後,重疊部分有5個正方形.所以原圖中一共有30×4-5×3=115個正方形.
9. 6
根據標有相同數碼的紙片不許靠在一起的條件，當m位置上放標有數碼「3」的紙片時，其餘兩個標有數碼「3」的紙片，只能放置在下面左右兩邊兩個圓圈內.如下圖所示.
這樣圓圈繞m圓緊接著m的六個圈旋轉一周,回到初始狀態,可知共有六種不同的放置方法.
10. 19
如果直線與大正方形的兩橫邊都有交點,則與所有的橫邊產生11個交點,與豎邊至多9個交點,共20個交點.
如果直線與大正方形的一橫邊和一豎邊有交點,則與橫邊至多產生10個交點,與豎邊至多產生10個交點,共20個交點.
20個交點,將直線分成21部分,其中在大正方形有內有19部分,故至多穿過19個方格.
[注]穿過乙個方格,在直線上截出一條線段,線段由直線上的交點決定,關鍵是求交點個數.
對小學生來說,通常總是從簡單情況入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情況,歸納出一般的規律,從而得出10×10方格的結果.請同學們用歸納法試一試!
11. 最大邊為7時,另兩邊之和為8,可構成4個(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大邊為6時，另兩邊之和為9，可構成2個（3+6，4+5）不同的三角形;最大邊為5時,可構成1個(5+5)不同的三角形.所以一共可組成7個不同的三角形.
12. 由三角形的一邊為11厘公尺,及其他邊長必為1,2,.…，11厘公尺，根據三角形兩邊之和大於第三邊的性質，可知兩邊之和應介於12厘公尺和22厘公尺之間（包含12厘公尺和22厘公尺）.
這樣,共可圍成36個不同的三角形.
12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；
13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；
14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；
15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；
16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；
17:(6,11),(7,10),(8,9)；
18:(7,11),(8,10),(9,9)；
19:(8,11),(9,10)；
20:(9,11),(10,10)；
21:(10,11)；
22:(11,11)
所以，一共可以圍成36個不同的三角形.
13. 為方便起見,不妨設原正方形的邊長為3,則小正方形的邊長是1,陰影三角形的面積是×2×3=3.所求的三角形可分兩種情形:
(1)三角形的一邊長為2,這邊上的高是3.這時,長為2的邊只能在原正方形的邊上,這樣的三角形有2×4×4=32(個)；
(2)三角形的一邊長為3,這邊上的高是2.這時長為3的邊是原正方形的一邊或平行於一邊的分割線.其中與(1)重複的三角形不再算入,這樣的三角形有8×2=16(個).
因此,所求的三角形共32+16=48(個)(包括圖中開始給的三角形.)
14. 最多可以穿透7個小立方體.提示:仿題10.
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