第二講不規則圖形面積的計算（二）
不規則圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規則圖形組合而成的，這是一類更為複雜的不規則圖形，為了計算它的面積，常常要變**形的位置或對圖形進行適當的分割、拼補、旋轉等手段使之轉化為規則圖形的和、差關係，同時還常要和「容斥原理」合併使用才能解決。
例1：如下圖（1），在乙個正方形內，以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓，求陰影部分的面積。
解法一：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到圖（2）。這時，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等。
所以上圖中陰影部分的面積等於正方形面積的一半。
解法二：將上半個「弧邊三角形」從中間切開，分別補貼在下半圓的上側邊上，如圖（3）所示。陰影部分的面積是正方形面積的一半。
解法三：將下面的半圓從中間切開，分別貼補在上面弧邊三角形的兩側，如圖（4）所示。陰影部分的面積是正方形的一半。
例2：如下圖，正方形abcd的邊長為4厘公尺，分別以b、d為圓心以4厘公尺為半徑在正方形內畫圓，求陰影部分面積。
解：由容斥原理，
s陰影=s扇形acb＋s扇形acd－s正方形abcd
=×ab2×2－ab2
=×42×2－42
=16×（－1）≈16×=9.12（平方厘公尺）。
例3：如下圖，矩形abcd中，ab=6厘公尺，bc=4厘公尺，扇形abe半徑ae=6厘公尺，扇形cbf的半徑cb=4厘公尺。求陰影部分的面積。
解：s陰景=s扇形abe＋s扇形cbf－s矩形abcd
=××62＋××42－6×4
=×（36＋16）－24
=13－24
=15（平方厘公尺）（取=3）
例4：如下圖，直角三角形abc中，ab是圓的直徑，且ab=20厘公尺，如果陰影（1）的面積比陰影（2）的面積大7平方厘公尺，求bc長。
分析已知陰影（1）比陰影（2）的面積大7平方厘公尺，就是半圓面積比三角形面積大7平方厘公尺；又知半圓直徑ab=20厘公尺，可以求出圓面積。半圓面積減去7平方厘公尺，就可求出三角形abc的面積，進而求出三角形的高bc的長。
解：bc的長=[3.14×()2÷2－7]×2÷20
157－7)×2÷20
15(厘公尺)。
例5 如下圖，兩個正方形邊長分別是10厘公尺和6厘公尺，求陰影部分的面積。
分析陰影部分的面積，等於底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（ⅰ）的面積之差。而圖中（ⅰ）的面積等於邊長為6的正方形面積減去的以6為半徑的圓的面積。
解：s陰影=s三角形acd－（s正方形bcde－s扇形ebd）
==48－9（）=39（平方厘公尺）。
例6 如下圖，將直徑ab為3的半圓繞a逆時針旋轉60°，此時ab到達ac的位置，求陰影部分的面積（取）。
解：整個陰影部分被線段cd分為i和ii兩部分，以ab為直徑的半圓被弦ad分成兩部分，設其中ad右側的部分面積為s，由於弓形ad是兩個半圓的公共部分，去掉ad弓形後，兩個半圓的剩餘部分面積相等。即ii=s，由於：
i＋s=60°圓心角扇形abc面積
=，∴ i＋ii=。
∴ 陰影部分面積是。
例7 如下圖，abcd是正方形，且fa=ad=de=1，求陰影部分的面積。
解：陰影m的面積＋陰影n的面積=△bcd的面積=，
例8 如下圖，abc是等腰直角三角形，d是半圓周上的中點，bc是半圓的直徑，且ab=bc=10，求陰影部分面積。
解：∵ 三角形abc是等腰直角三角形，以ac為對角線再作乙個全等的等腰直角三角形ace，則abcd為正方形。
∴ s陰影=（s正方形abcd＋s半圓－s△ade）÷2
10×10＋×52÷2－×10×15）÷2
100＋39.25－75）÷2 =64.25÷2=32.125
總結：對於不規則圖形面積的計算問題，一般將它轉化為若干基本規則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關係，問題便得到解決。常用的基本方法有：
一，相加法：這種方法是將不規則圖形分解轉化成幾個基本規則圖形，分別計算它們的面積，然後相加求出整個圖形的面積。
二，相減法：這種方法是將所求的不規則圖形的面積看成是若干個基本規則圖形的面積之差。
三，直角求法：這種方法是根據已知條件，從整體出發直接出求不規則圖形面積。
四，重新組合法：這種方法是將不規則圖形拆開，根據具體情況和計算上的需要，重新組合成乙個新的圖形，設法求出這個新圖形面積即可。
五，輔助線法：這種方法是根據具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規則圖形轉化成若干個基本規則圖形，然後再採用相加、相減法解決即可。
六，割補法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分，使之成為基本規則圖形，從而使問題得到解決。
七，平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合成乙個新的基本規則圖形，便於求出面積。
八，旋轉法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來之後，使之沿某一點或某一軸旋轉一定角度貼補在另一圖形的一側，從而組合成乙個新的基本規則的圖形，便於求出面積。
九，對稱添補法：這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到乙個新的基本規則圖形，原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半。
十，重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然後運用「容斥原理」解決。
習題二一，填空題（根據圖中所給的資料求陰影部分面積）。
二，解答題：
1，如下圖，大圓的直徑為4厘公尺，求陰影部分的面積。
2，如下圖，大扇形半徑是6厘公尺，小扇形半徑是3厘公尺，求陰影部分的面積。
3，如下圖，三個同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分面積佔大圓面積的百分之幾？
4，如下圖，正方形abcd邊長為1厘公尺，依次以a、b、c、d為圓心，以ad、be、cf、dg為半徑畫出扇形，求陰影部分的面積。
5，如下圖（a），求陰影部分的面積。
6，如下圖（b），把oa分成6個等分，以o為圓心畫出六個扇形，已知最小的扇形面積是10平方厘公尺，求陰影部分的面積。
7，如下圖（a），△abc是等腰直角三角形，直角邊ab=2厘公尺，求陰影部分的面積。
8，如下圖（b），半徑oa=ob=oc=9厘公尺，∠1=∠2=15°，求陰影部分的面積。ab)
不規則圖形面積的計算一
十二 圓和組合圖形 2 年級班姓名得分 一 填空題 1.如圖,陰影部分的面積是 2.大圓的半徑比小圓的半徑長6厘公尺,且大圓半徑是小圓半徑的4倍.大圓的面積比小圓的面積大平方厘公尺.3.在乙個半徑是4.5厘公尺的圓中挖去兩個直徑都是2厘公尺的圓.剩下的圖形的面積是平方厘公尺.取3.14,結果精確到1...
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