浙江省金華市第四中學童桂恆
分析近幾年中考的試題，我們可以看到：在中考客觀性試題中常有一類平面不規則圖形的面積問題，對這類試題由於圖形的不規則使學生在求解時往往感到茫然，不知所措；然而這類試題又有較好的選拔功能，能體現對數學思想方法、思維能力素質的考查，符合「少考計算，多考思維」的中考改革思路，所以，它常常得到各地中考命題專家的青睞。本文將結合例項談談平面不規則圖形面積求解的若干策略。
一、割補法
割補法是求解平面不規則圖形面積問題最常用的方法之一，它包含三個方面的內容：一是分割原有圖形成規則圖形；二是粘補原有圖形為規則圖形；三是分割粘補兼而有之。
例1 如圖1--1，abcd是邊長為8的乙個正方形，、、、 都是半徑為4的圓弧,且、 分別與ab、ad、bc、dc相切，則陰影部分的面積05年內蒙古呼和浩特市中考題）
略解，鏈結eg、fh相交於點o，則扇形oeh、bef、ogf、dgh全等，都是半徑為4的圓，把扇形oeh割下，粘補到扇形bef上，再把扇形ogf割下，粘補到扇形dgh上(如圖1—2所示)，因此有
= + =2×4×4=32.
圖1--1 圖1--2 圖2--1 圖2--2
例2 當汽車在雨中行駛時，為了看清楚道路，司機要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器。如圖2--1是某汽車的乙個雨刷器的示意圖，雨刷器杆ab與雨刷器cd在b處固定連線(不能轉動),當桿ab繞a點轉動90°時，雨刷cd掃過的面積是多少呢？小明仔細觀察了雨刷器的轉動情況量得cd=80cm，∠dba=20°，端點c、d與點a的距離分別是115cm、35cm，他經過認真思考只選用了其中的部分資料就求得了結果，你知道小明是怎樣計算的嗎？
也請你算一算雨刷cd掃過的面積cm2 (取3.14) （04年山東濟南市中考題）
略解，由於cd和ab在點b處固定連線（不能轉動），所以在整個運動過程中，就有ac=ac′=115cm，ad=ad′=35cm，cd=cd′=80cm，因此△acd≌△ac′d′，把△ac′d′割下，粘補到△acd的位置（見圖2--2），則雨刷cd掃過的面積，就等於以a為圓心，ac、ad為半徑的兩個圓的面積差.
即 (ac2－ad2)= ×3.14×（1152－352）=9420cm2.
注：在應用割補法求解問題時，往往要綜合應用「分割」與「粘補」兩種技能策略，對思維的靈活性和嚴密性有著較高的要求。
二、旋轉法
把圖形繞著某點旋轉，使靜止時分散的條件相對集中，實現化一般圖形為特殊圖形，從而輕鬆求解。
例3 如圖3--1，ef過矩形abcd對角線的交點o，且分別交ab、cd於e、f，那麼陰影部分的面積是矩形abcd面積的（ ）（05年福州市實驗區中考試題）
abcd、
略解：由題設條件易證△boe≌△dof，把△dof繞點o旋轉180°，則△dof與△boe重合(如圖3—2所示).
故選（b）
圖3--1 圖3--2 圖4--1 圖4--2
三、對稱法
利用已知圖形的軸對稱性，把所給圖形沿某條對稱軸所在直線翻摺，使分散在對稱軸所在直線兩側的圖形整合到另乙個圖形之中，使解題獲得突破。
例4 如圖4--1，半圓a和半圓b均與y軸相切於點o，其直徑cd、ef和x軸垂直，以o為頂點的兩條拋物線分別經過點c、e和點d、f，則圖中陰影部分的面積是 .（05年河南省實驗區中考試題）
略解：由題設可知，兩個半圓和兩支拋物線均關於y軸成軸對稱，所以，把y軸右側的圖形沿y軸翻摺(如圖4--2)後知：
==××12=.
四、平移法
平移不改變圖形的形狀和大小，但通過平移可以使圖形的位置發生變化，利用特殊位置關係時的圖形狀況，常常可以尋找到問題解決的突破口。
例5 如圖5--1，矩形內有兩個相鄰的正方形，面積分別為4和2，那麼陰影部分的面為03年上海市中考試題）
略解：面積為2的小正方形的位置不確定是帶來陰影部分面積求解困難的原因所在，因此，考慮把小正方形豎直向下平移至與長方形底邊重合，此時，兩塊分散的小長方形陰影部分轉化為一塊較大的長
方形陰影部分(如圖5—2所示)，其長、寬易求得為和（），所以
=.圖5--1 圖5—2圖6—1圖6—2
注：圖形的旋轉，對稱和平移都是常用的圖形變換方法，利用這些圖形變換方法可以把處於一般位置關係的圖形轉化為處於特殊位置關係的圖形，使不規則的復合圖形轉化為規則的圖形。
五、整體法
整體思維是解題策略中的一種重要思維方法，整體法體現在解題過程中，就是將要解決的問題看作乙個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構或作種種整體處理後，達到順利而又簡捷地解決問題的目的。
例6 如圖6--1所示的曲邊三角形可按下述方法作出：分別以正三角形的乙個頂點為圓心，邊長為半徑，畫弧所圍成的圖形就是乙個曲邊三角形。如果乙個曲邊三角形的周長為，那麼它的面積為03年山東省中考題）
略解，由題設條件，曲邊三角形的三條「邊」是等弧，均為60°，我們把這三段弧依次放到乙個圓上，它剛好為半個圓周（如圖6—2所示），圓的半徑就是題中正三角形的邊長.
由 ·2r=, 知r=1，即題中的正三角形邊長為1.
∴=—2= —2×=.
六、等積法
等積轉化是解決面積問題中十分常用的一種解題策略，對三角形（或平行四邊形）來說，「等底等高面積相等」是經常運用的一條重要性質，通過等積轉換，把平面不規則圖形轉化為三角形或平行四邊形等，往往能使問題迅速解決。
例7 如圖7--1，菱形abcd的對角線的長分別為2和5，p是對角線ac上任一點（點p不與點a、c重合），且pe∥bc交ab於e，pf∥cd交ad於f，則陰影部分的面積是04年貴州省貴陽市實驗區中考題）
略解：由於點p是ac上任一點，所以隨著點p的運動，△epf和四邊形bcpe的面積也不斷變化。
又∵ep∥bc，bc∥ad，∴ep∥ad，∴ =.(如圖7—2所示)
2×5=.
圖7--1 圖7--2 圖8
七、方程法
所謂方程法就是從對問題中數量關係的分析入手，運用數學語言將數量關係轉化為方程（或方程組），使問題獲解的思維方法。
例8 如圖8，將矩形abcd沿直線ae摺疊，頂點d恰好落在bc邊上f點處，已知ce=3cm ，ab=8cm 則圖中陰影部分面積為cm2 . （05年山西省中考題）
略解：由圖形的摺疊性質知：ad=af，de=ef
∵dc=ab=8cm，ce=3cm，∴de=ef=5cm.
根據勾股定理，得fc=4cm，若設ad=χcm，則af=χcm，bf=（χ—4）cm.
因此有：82+（χ－4）2 =χ2 ， 解得χ=104=6.
∴=+=ab·bf+fc·ce=×8×6+×4×3=30cm2.
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