實驗三怎樣計算平面圖形的面積
一、試驗目的和要求
探索曲線擬合的不同方式，使學生了解泰勒公式的意義，並且對運用定積分計算任意平面圖形的面積有更深入的認識。能初步運用所學數學知識及數學軟體工具matlab解決實際問題。
二、問題的描述
通過學習高等數學，我們知道可以利用定積分來計算平面圖形的面積。但這是有前提條件的，既要知道圍成所考慮的平面圖形的曲線對應的函式。如圖
(圖1圖2）
圖1中曲邊梯形的面積為，
圖2中平面圖形的面積為，
然而在現實生活中，我們考慮計算平面圖形的面積時，並不知道圍成所考慮的平面圖形的曲線對應的函式。要運用定積分計算平面圖形的面積，首先要找到這樣的函式。
三、問題的分析
當然首先我們必須建立適當的座標系，無妨我們就象圖2那樣建立直角座標系。接下來我們面臨的問題是函式應該設成什麼形式。如果連函式應該是什麼樣的形式都不清楚，那就更談不上把它們求出來。
面對這樣的情況，我們很自然希望這些函式有一種統一的簡潔的形式。
四、背景知識
其實在高等數學的學習中，這個問題已經解決。這就是我們學習的泰勒公式、冪級數。滿足一定條件的函式，都可以用多項式近似表示，因此，這裡的函式我們可以統一設成多項式的形式（多項式逼近）。
練習1：在同一座標系內作出區間上指數函式及多項式逼近函式：
的影象，觀察這些多項式函式逼近指數函式的情況。
相關的matlab語句：
x=(-2:0.1:2);
y=exp(x) ;
y1=1+x ;
y2=1+x+(x.^2) / 2 ;
y2=1+x+(x.^2) / 2 ;
y3=1+x+(x.^2) / 2+(x.^3) / 6+(x.^4) / 24 ;
plot (x , y , 'k' , x , y1 , 'm' , x , y2 , 'g' , x , y3 , 'c')
練習2：在同一座標系內作出區間上余弦函式及多項式函式：
的影象，觀察這些多項式函式逼近余弦函式的情況。
相關的matlab語句：
x=(- 2 : 0.1 : 2) ;
y=cos(x) ;
y1=1- (x.^2) / 2 ;
y2=1- (x.^2) / 2+(x.^4) / 24 ;
y3=1- (x.^2) / 2+ (x.^4) / 24 - (x.^6) / 144 ;
y4=1- (x.^2) / 2+(x.^4) / 24 - (x.^6) / 144+(x.^8) / 1152 ;
plot (x , y , 'k' , x , y1 , 'm' , x , y2 , 'g' , x , y3 , 'c ' , x , y4 , ' b ')
因此我們可以把函式設成多項式的形式，設
接下來的問題是怎樣找到多項式合適的係數。我們可以先在曲線上確定若干個點。
五、實驗過程
1．拉格朗日插值法
無妨設上半段曲線上取得不同的點為：
，則一定要有
我們可用矩陣的形式表示
前面這個階矩陣就是有名的範德蒙矩陣，因為取的是不同的點，所以兩兩不相等，此範德蒙矩陣的秩為，所以方程組有唯一的解。
相關的matlab語句：
%原始資料-下邊界曲線
x1=[ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7.35 ; 3 , 1.25 , 0.
875 , 0.5 , 0.27 , 0.
4 , 1.2 , 2.65 , 4 ] ;
t1=x1(1橫座標
y1=x1(2豎座標
for i=1:length(x1) %計算範德蒙矩陣
b( i , 1 ) = 1 ;
for j=2:length(x1)
b( i , j ) = x1 ( 1 , i ) .^ ( j - 1 ) ;
end ;
enda1=inv( b ) * x1( 2解方程組
for i=1 : 9 %調整
h1( i ) = a1 ( 10 - i ) ;
end , h1
s=0 : 0.01 : 7.35; %繪圖-橫座標
k1=polyval( h1 , s ) ; %繪圖-豎座標
plot( s , k1 , ' b繪圖-拉格朗日插值曲線
hold on
plot( t1 , y1 , 'r.' , 'markersize' , 18 ) %繪圖-原始資料點
%原始資料-上邊界曲線
x2=[ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7.35 ; 3 , 5.1 , 5.
6 , 6.05 , 6.2 , 6 , 5.
6 , 4.9 , 4 ] ;
t2=x2( 1橫座標
y2=x2( 2豎座標
for i = 1 : length( x2 ) %計算範德蒙矩陣
b(i,1)=1;
for j = 2 : length( x2 )
b( i , j ) = x2( 1 , i ) .^ ( j - 1 ) ;
end ;
enda2=inv( b ) * x2( 2解方程組
for i=1 : length(x2) %調整
h2( i ) = a2( 10 - i ) ;
end , h2
s = 0 : 0.01 : 7.35繪圖-橫座標
k2 = polyval ( h2 , s ) ; %繪圖-豎座標
plot( s , k2 , ' b繪圖-拉格朗日插值曲線
plot ( t2 , y2 , ' r . ' , 'markersize' , 18 ) %繪圖-原始資料點
hold off
%計算圖形的面積
f1=inline('-0.00014384*x.^8 + 0.
0043349*x.^7 - 0.055551*x.
^6 + 0.39407*x.^5 - 1.
6774*x.^4+4.305*x.
^3 - 6.4166*x.^2 + 5.
5464*x + 3','x') %插值多項式上
q1=quadl(f1,0,7.35) %插值多項式上的數值積分
f2=inline('0.00026363*x.^8 - 0.
0077636*x.^7 + 0.094958*x.
^6 - 0.62637*x.^5 + 2.
4235*x.^4- 5.5753*x.
^3 + 7.356*x.^2 - 5.
4154*x + 3','x') %插值多項式下
q2=quadl(f2,0,7.35) %插值多項式下的數值積分
q1 - q2 %圖形的面積
答案：32.7785
如果我們多取一些點，情況會怎樣呢？
x1=[ 0,0.5,1,1.5,2,2.
5,3,3.5,4,4.5,5,5.
5,6,6.5,7,7.35;3,1.
57,1.25,1.08,0.
875,0.67,0.5,0.
36,0.27,0.25,0.
4,0.67,1.2,1.
66,2.65,4 ] ;
x2=[ 0,0.5,1,1.5,2,2.
5,3,3.5,4,4.5,5,5.
5,6,6.5,7,7.35; 3 , 4.
6 , 5.1 , 5.35 , 5.
6 , 5.85 , 6.05 , 6.
17 , 6.2 , 6.15 , 6 , 5.
8 , 5.6 , 5.37 , 4.
9 , 4 ] ;
用拉格朗日插值法，並不是取的點越多越好，當取樣點越來越多時，不但多項式越來越複雜、計算越來越煩，而且曲線除了中部擬合得還算可以，在兩端會產生振盪，這稱為龍格振盪，也叫龍格現象。怎樣解決這個問題呢？有興趣的同學，可以去閱讀有關分段插值、樣條插值的書籍。
2．最小二乘法
還有一種方法就是最小二乘法。設是曲線上的不同的點。我們考慮：
，使此式取得最小值的應該就是所求多項式的最恰當的係數。而這樣的取值應該使函式在此點的偏導數都為零（駐點）。由此可得
這是乙個元線性方程組，解此方程組可得到唯一一組的取值。
相關的matlab語句：
%原始資料-邊界曲線
x=[ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7.35 ; 3 , 1.25 , 0.
875 , 0.5 , 0.27 , 0.
4 , 1.2 , 2.65 , 4 ] ;
n = 8;
b = zeros ( n+1 , n+1 ) ;
for i = 1 : n+1 %計算左邊係數矩陣
for j = 1 : n+1
for k = 1 : length(x)
b( i , j ) = x( 1 , k ).^( i + j-2 )+ b( i , j ) ;
endend
end ,b
0.00001*b
c= zeros ( n+1 ,1 ) ;
for i =1 : n+1 %計算右邊矩陣
for k = 1 : length(x)
c ( i , 1 )=x ( 1 , k )^( i - 1 )*x( 2 , k )+ c ( i , 1 );
endend , c
0.00001*c
a=inv ( b ) * c %解方程組
for i=1 : n+1
h( i ) = a ( n+2 -i ) ;
end , h
s = 0 : 0.01 : 7.35;
k = polyval ( h , s ) ;
plot( s , k , ' b繪圖-擬合曲線
hold on
plot ( x(1,: ) , x( 2r . ' , 'markersize' , 18 ) %繪圖-原始點
hold off
在matlab中，有專門處理這類問題的函式ployfit[ ],下面就是用這個函式處理給定資料的結果：
function myfun4(x,n)
f = polyfit ( x ( 1 , : ) , x ( 2 , : ) , n ) ;
s = x ( 1 , 1 ) : 0.01 : x ( 1 , length ( x ) ) ;
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