典型例題：
一、利用勾股定理解決實際問題
例題：水中蘆葦梯子滑動
1、有乙個感測器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5公尺的牆上，任何東西只要移至5公尺以內，燈就自動開啟，乙個身高1.5公尺的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好開啟？
2、如圖，公路mn和公路pq在p點處交匯，點a處有一所中學，ap=160公尺，點a到公路mn的距離為80公尺，假使拖拉機行駛時，周圍100公尺以內會受到噪音影響，那麼拖拉機在公路mn上沿pn方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千公尺/小時，那麼學校受到影響的時間為多少？
3、如圖，南北向mn為我國領海線，即mn以西為我國領海，以東為公海，上午9時50分，我反走私a艇發現正東方向有一走私艇c以每小時6.4海浬的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正在mn**巡邏的我國反走私艇b密切注意，反走私a艇通知反走私艇b時，a和c兩艇的距離是20海浬，a、b兩艇的距離是12海浬，反走私艇b測得距離c是16海浬，若走私艇c的速度不變，最早會在什麼時間進入我國領海？
二、與勾股定理有關的圖形問題
1． 已知△abc是邊長為1的等腰直角三角形，以rt△abc的斜邊ac為直角邊，畫第二個等腰rt△acd，再以rt△acd的斜邊ad為直角邊，畫第三個等腰rt△ade，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是
2．如圖，直線l經過正方形abcd的頂點b，點a、c到直線l的距離分別是1、2，則正方形的邊長是______．
3．在直線上依次擺著七個正方形(如圖)，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個正方形的面積是s1，s2，s3，s4，則s1＋s2＋s3＋s4
4．如圖，△abc中，∠c＝90°，
(1)以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形(如圖①)，**s1＋s2與s3的關係；
(2)以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形(如圖②)，**s1＋s2與s3的關係；
(3)以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓(如圖③)，**s1＋s2與s3的關係．
圖圖圖③
5．如圖，設四邊形abcd是邊長為1的正方形，以正方形abcd的對角線ac為邊作第二個正方形acef，再以第二個正方形的對角線ae為邊作第三個正方形aegh，如此下去…，記正方形abcd的邊長a1=1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a1，a2，a3，…，an，根據上述規律，則第n個正方形的邊長an記正方形ab－cd的面積s1為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為s2，s3，……，sn(n為正整數)，那麼sn
6、如圖，rt△abc中，∠c=90°，ac=2，ab=4，分別以ac、bc為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為
三、關於翻摺問題
1、如圖，摺疊矩形紙片abcd，先折出摺痕（對角線）bd，再摺疊，使ad落在對角線bd上，得摺痕dg，若ab = 2，bc = 1，求ag.
2、如圖，把矩形紙片abcd沿對角線ac摺疊，點b落在點e處，ec與ad相交於點f.
（1）求證：△fac是等腰三角形；
（2）若ab=4，bc=6，求△fac的周長和面積
3、如圖，將矩形沿直線摺疊，頂點恰好落在邊上點處，已知，，求的長．
4、如圖，一張矩形紙片abcd的長ad=9㎝，寬ab=3㎝。現將其摺疊，使點d與點b重合。求摺疊後be的長和摺痕ef的長。
5、矩形紙片abcd的邊長ab=4，ad=2．將矩形紙片沿ef摺疊，使點a與點c重合，摺疊後在其一面著色（如圖），求著色部分的面積。
6、如圖，矩形紙片abcd的邊ab=10cm，bc=6cm，e為bc上一點，將矩形紙片沿ae摺疊，點b恰好落在cd邊上的點g處，求be的長.
7如圖，ad是△abc的中線，∠adc=45°，把△adc沿直線ad翻摺，點c落在點c』的位置，bc=4,求bc』的
五、四、關於最短性問題
1：如圖1，長方體的長為12cm，寬為6cm，高為5cm，乙隻螞蟻沿側面從點向點爬行，問：爬到點時，螞蟻爬過的最短路程是多少？
2、如圖壁虎在一座底面半徑為2公尺，高為4公尺的油罐的下底邊沿a處，它發現在自己的正上方油罐上邊緣的b處有乙隻害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背後對害蟲進行突然襲擊．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?
3：如圖為一稜長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設乙隻螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面a點沿表面爬行至右側面的b點，最少要花幾秒鐘？
4.如圖，是乙個**台階，它的每一級的長、寬和高分別等於5cm，3cm和1cm，a和b是這個台階的兩個相對的端點，a點上有乙隻螞蟻，想到b點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從a點出發，沿著台階面爬到b點，最**路是多少？
5、如圖，乙個高18m，周長5m的圓柱形水塔，現製造乙個螺旋形登梯，為減小坡度，要求登梯繞塔環繞一周半到達頂端，問登梯至少多長？(建議：拿張白紙動手操作，你一定會發現其中的奧妙)
6、有一圓柱形食品盒，它的高等於16cm，底面直徑為20cm， 螞蟻爬行的速度為2cm/s.
⑴如果在盒內下底面的a處有乙隻螞蟻，它想吃到盒內對面中部點b處的食物，那麼它至少需要多少時間? (盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計，結果可含π)
⑵如果在盒外下底面的a處有乙隻螞蟻，它想吃到盒內對面中部點b處的食物，那麼它至少需要多少時間? (盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計，結果可含π)
7：如圖，圓錐的側面展開圖是半徑為cm的半圓，乙隻螞蟻沿圓錐側面從點向點爬行，問：（1）爬到點時，螞蟻爬過的最短路程；（2）當爬行路程最短時，求爬行過程中離圓錐頂點的最近距離．
8、如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線pb的長為6，d為pb的中點．乙隻螞蟻從點a出發，沿著圓錐的側面爬行到點d，則螞蟻爬行的最短路程為
五、關於勾股定理判定三角形形狀
1、已知，△abc中，ab=17cm，bc=16cm，bc邊上的中線ad=15cm，試說明△abc是等腰三角形。
2：已知△abc的三邊a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △abc是否是直角三角形？你能說明理由嗎？
3、如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，設ac=b，bc=a，ab=c，cd=h．
試說明：（1）；（2）a+b＜c+h；（3）判斷以a+b、h、c+h為邊的三角形的形狀，並說明理由．
4、在等腰直角三角形abc的斜邊ab上取兩點m,n，使∠mcn=45°，記am=m，mn=x，bn=n。試判斷以x，m，n為邊長的三角形的形狀。
六、關於旋轉中的勾股定理的運用：
1、如圖，△abc是直角三角形，bc是斜邊，將△abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acp′重合，若ap=3，求pp′的長。
變式1：如圖，p是等邊三角形abc內一點，pa=2,pb=,pc=4,求△abc的邊長.
分析： 利用旋轉變換，將△bpa繞點b逆時針選擇60°，將三條線段集中到同乙個三角形中，根據它們的數量關係，由勾股定理可知這是乙個直角三角形.
八年級上勾股定理
第一章勾股定理綜合測試 一 選擇題 每小題4分，共32分 1 以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是 a 2，3，4b 10，8，4 c 7，25，24 d 7，15，12 2 已知乙個rt 的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是 a 25 b 14 c 7 d 7或25 3 以面積為9 cm2...
八年級數學勾股定理提高訓練題
a 銳角b 直角c 鈍角d 不能確定 10.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,乙隻螞蟻從點a爬到點b處吃食,要爬行的最短路程 取3 是 a 20cmb 10cm c 14cmd 無法確定 11.小剛準備測量一段河水的深度,他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的頂端...
八年級數學下冊勾股定理知識點和典
勾股定理 基礎知識 勾股定理 勾股定理的證明 常見方法如下 方法一 化簡可證 方法二 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 大正方形面積為 所以方法三 化簡得證 3.勾股定理的適用範圍 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，...