§ 3.4一元二次函式的圖象和性質
1． 掌握一元二次函式圖象的畫法及圖象的特徵
2． 掌握一元二次函式的性質，能利用性質解決實際問題
3． 會求二次函式在指定區間上的最大（小）值
4． 掌握一元二次函式、一元二次方程的關係。
1．函式叫做一元二次函式。
2. 一元二次函式的圖象是一條拋物線。
3．任何乙個二次函式都可把它的解析式配方為頂點式：，
性質如下：
（1）圖象的頂點座標為，對稱軸是直線。
（2）最大（小）值
1 當，函式圖象開口向上，有最小值，，無最大值。
2 當，函式圖象開口向下，有最大值，，無最小值。
（3）當，函式在區間上是減函式，在上是增函式。
當，函式在區間上是減函式，在上是增函式。
【說明】1.我們研究二次函式的性質常用的方法有兩種：配方法和公式法。
2．無論是利用公式法還是配方法我們都可以直接得出二次函式的頂點座標與對稱軸；
但我們討論函式的最值以及它的單調區間時一定要考慮它的開口方向。
一、一元二次函式的圖象的畫法
【例1】求作函式的圖象
【解】以為中間值，取的一些值，列表如下：
【例2】求作函式的圖象。
【解】先畫出圖角在對稱軸的右邊部分，列表
【點評】畫二次函式圖象步驟：
(1)配方； (2)列表；
(3)描點成圖； 也可利用圖象的對稱性，先畫出函式的左（右）邊部分圖象，再利用對稱性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函式性質
【例3】求函式的最小值及圖象的對稱軸和頂點座標，並求它的單調區間。
【解】由配方結果可知：頂點座標為，對稱軸為；
當時， 函式在區間上是減函式，在區間上是增函式。
【例4】求函式圖象的頂點座標、對稱軸、最值及它的單調區間。
，∴函式圖象的頂點座標為，對稱軸為
當時，函式取得最大值
函式在區間上是增函式，在區間上是減函式。
【點評】要研究二次函式頂點、對稱軸、最值、單調區間等性質時，方法有兩個：
(1) 配方法；如例3
(2) 公式法：適用於不容易配方題目(二次項係數為負數或分數)如例4，可避免出錯。
任何乙個函式都可配方成如下形式：
三、二次函式性質的應用
【例5】(1)如果對於任意實數都有，那麼（ ）
（ab）
（cd）
【解】 ∵對於一切的均成立
的影象關於對稱
又拋物線開口向上。
是的最小值。
，∴(2)如果對於任意實數都有，則 。(用「」或「」填空)
【解】∵對於一切的均成立
的影象關於對稱
又拋物線開口向下。
，【點評】1.當時，對稱軸通過它的最低點(此時函式有最小值)，如果這時有乙個點離圖象對稱軸越遠，則對應的函式值就越大。如例5(1)中當所對應的點比當所對應的點離對稱軸遠，所以時對應的函式值也比較大。
2．1.當時，對稱軸通過它的最高點(此時函式有最大值)，如果這時有乙個點離圖象對稱軸越遠，則對應的函式值就越小。如例5(2)中當所對應的點比當所對應的點離對稱軸遠，所以對應的函式值也比較小。
【例6】求函式在給定區間上的最值。
【解】（1）原函式化為
當時，又∵ ∴當時，
（2）原函式可化為：，圖象的對稱軸是直線
注意到當時，函式為減函式
∴【例7】已知函式是偶函式，試比較，，的大小。
【解】解法一：∵是偶函式，
可知函式的對稱軸為直線
又∵，解法二： ∵是偶函式，
可知在上單調遞減
又∵是偶函式，
而三、一元二次函式、一元二次方程的關係。
【例8】求當為何值時，函式的圖象與軸(1)只有乙個公共點；(2)有兩個公共點；(3)沒有公共點.
【解】令，則的判別式
(1)當，即，時，方程有兩個相等的實根，這時圖象與軸只有乙個公共點；
(2) 當，即，時，方程有兩個不相等的實根，這時圖象與軸有兩個公共點；
(3) 當，即，時，方程有兩個不相等的實根，這時圖象與軸無公共點；
一．選擇題
1．二次函式的值域是（ ）
2．如果二次函式在區間上是減函式，在區間上是增函式，則（ ）
ａ．22 ｃ．1010
3．如果二次函式有兩個不相等的實數根，則的聚值範圍是（ ）
0 ｄ．
4．函式的最小值是（ ）
ａ．-33
5．函式具有性質（ ）
ａ．開口方向向上，對稱軸為，頂點座標為（-1，0）
ｂ．開口方向向上，對稱軸為，頂點座標為（1，0
ｃ．開口方向向下，對稱軸為，頂點座標為（-1，0）
ｄ．開口方向向下，對稱軸為，頂點座標為（1，0）
6．下列命題正確的是（ ）
ａ．函式的最小值是 ｂ．函式的最小值是函式的最小值為7 ｄ．函式的最大值為7
7．函式（1）；（2）；（3）；（4）中，對稱軸是直線的是（ ）
ａ．（1）與（22）與（31）與（32）與（4）
8．對於二次函式，下列結論正確的是（ ）
ａ．當時，有最大值8當時，有最大值8
ｃ．當時，有最小值8當時，有最小值8
9．如果函式，對於任意實數都有，那麼下列選項中正確的是（ ）
10．若二次函式有最小值，則實數＝（ ）
二．填空
1．若函式，則的對稱軸是直線
2．若函式在區間上是減函式，在區間是增函式，則
3．函式的圖象與軸的交點座標是 ，與軸的交點座標是 、
4．已知，則有最值為
5．已知，則有最值為
三．解答題
1．已知二次函式，（1）指出函式圖象的開口方向；（2）當為何值時；（3）求函式圖象的頂點座標、對稱軸和最值。
2.如果二次函式與軸至多有乙個交點，求的值。
3．已知二次函式，
（1）如果它的圖象經過原點，求的值。
（2）如果它的圖象關於軸對稱，寫出函式的關係式。
（3）如果它的圖象關於軸對稱，試比較。
一元二次函式影象
一 一元二次函式型式 y ax2 bx c或f x ax2 bx c二 一元二次函式影象畫法 1 形狀 拋物線 2 開口 a 0，開口向上 a 0，開口向下3 對稱軸 x 4 與x軸的交點 方程的根 5 最大最小值 三 例題 1 y x2 5x 6 解 a 1，開口向上 對稱軸 x 方程根 x2 5...
二次函式的影象和性質總結
一 二次函式的定義 形如的函式叫二次函式。二 二次函式的解析式三種形式 1一般式 2頂點式 a 0 頂點座標為對稱軸是 3兩點式 設x1 x2是拋物線與x軸的兩個交點的橫座標，則對稱軸為直線。三 二次函式 a 0 的圖象與性質二次函式 1 開口大小。由決定，越大，開口越 2 開口方向 由決定。當a ...
二次函式的影象和性質總結
1.二次函式的影象與性質 2.拋物線的平移法則 1 拋物線的影象是由拋物線的影象平移個單位而得到的。當時向上平移 當時向下平移。2 拋物線的影象是由拋物線的影象平移個單位而得到的。當時向左平移 當時向右平移。3 拋物線的影象是由拋物線的影象上下平移個單位，左右平移個單位而得到的。當時向上平移 當時向...