第四講直線與圓、圓與圓的位置關係
z 知識點一直線與圓的位置關係
1．直線與圓的位置關係
直線與圓的位置關係有三種：相交、相切、相離．用來判斷直線與圓的位置關係的方法主要有兩種：
(1)代數法：把直線方程與圓的方程聯立方程組，消去x或y整理成一元二次方程後，計算判別式δ＝b2－4ac
(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關係：
d＜r__相交__，
d＝r__相切__，
d＞r__相離__．
2．圓的切線方程
(1)若圓的方程為x2＋y2＝r2，點p(x0，y0)在圓上，則過p點且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為__x0x＋y0y＝r2__．
注：點p必須在圓x2＋y2＝r2上．
(2)經過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上點p(x0，y0)的切線方程為__(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2__．
3．圓的弦長的求法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成的直角三角形來計算．
(2)代數方法
運用韋達定理及弦長公式
|ab|＝|xa－xbya－yb|．
說明：運用圓的幾何性質，求弦長或已知弦長求其他量的值時，採用幾何方法直觀、簡便．
知識點二圓與圓的位置關係
圓與圓的位置關係有五種：相離、外切、相交、內切、內含，用來判斷圓與圓的位置關係的方法主要有兩種：
(1)幾何法：設兩圓圓心分別為o1、o2，半徑為r1、r2(r1≠r2)，則|o1o2|＞r1＋r2__相離__；|o1o2|＝r1＋r2__外切__；|r1－r2|＜|o1o2|＜r1＋r2__相交__；|o1o2|＝|r1－r2|__內切__；|o1o2|＜|r1－r2|__內含__．
(2)代數法：
方程組有兩組不同的實數解兩圓__相交__；
有兩組相同的實數解兩圓__相切__；
無實數解兩圓相離或內含．
知識點三空間直角座標系
1．空間直角座標系的建立
在空間直角座標系中，o叫做座標原點，x、y、z軸統稱為座標軸，由座標軸確定的平面叫做座標平面．這裡所說的空間直角座標系是空間右手直角座標系：即伸開右手，使拇指指向__x__軸的正方向，食指指向__y__軸的正方向，中指指向__z__軸的正方向．也可這樣建立座標系：令z軸的正方向豎直向上，先確定x軸的正方向，再將其按逆時針方向旋轉90°就是y軸的正方向．
2．空間點的座標
設點p(x，y，z)為空間座標系中的一點，則點p
(1)關於原點的對稱點是__(－x，－y，－z)__；
(2)關於x軸的對稱點是__(x，－y，－z)__；
(3)關於y軸的對稱點是__(－x，y，－z)__；
(4)關於z軸的對稱點是__(－x，－y，z)__；
(5)關於xoy座標平面的對稱點是__(x，y，－z)__；
(6)關於yoz座標平面的對稱點是__(－x，y，z)__；
(7)關於xoz座標平面的對稱點是__(x，－y，z)__．
3．空間兩點間的距離
設a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，
則|ab
s 1．下列結論正確的個數為 ( c )
(1)「k＝1」是「直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交」的必要不充分條件．
(2)如果兩圓的圓心距小於兩圓的半徑之和，則兩圓相交．
(3)從兩圓的方程中消掉二次項後得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．
(4)過圓o：x2＋y2＝r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2．
(5)過圓o：x2＋y2＝r2外一點p(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為a，b，則o，p，a，b四點共圓且直線ab的方程是x0x＋y0y＝r2．
a．0 b．1
c．2 d．3
[解析] (1)(2)(3)都不正確，(4)(5)正確，故選c．
2．(2018·衡水中學月考)若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則p(a，b)與圓x2＋y2＝1的關係為 ( b )
a．在圓上 b．在圓外
c．在圓內 d．以上都有可能
[解析] <1，∴a2＋b2>1，∴p(a，b)在圓外．
3．圓x2＋y2－4x＝0在點p(1，)處的切線方程為 ( d )
a．x＋y－2＝0 b．x＋y－4＝0
c．x－y＋4＝0 d．x－y＋2＝0
[解析] 圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心座標為(2,0)，半徑為2，點p在圓上，設切線方程為y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝．
∴切線方程為y－＝ (x－1)，即x－y＋2＝0．
4．兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關係是 ( b )
a．相交 b．內切
c．外切 d．內含
[解析] 兩圓方程可化為x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.兩圓圓心分別為o1(0,1)，o2(0,0)，半徑分別為r1＝1，r2＝2．
∵|o1o2|＝1＝r2－r1．
5．直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為
[解析] 因為圓心(2，－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝＝，所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2＝．
考點1 直線與圓的位置關係
例1 (1)(2018·深圳模擬)已知點m(a，b)在圓o：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓o的位置關係是 ( b )
a．相切 b．相交
c．相離 d．不確定
(2)(2016·安徽高考)過點p(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值範圍是 ( d )
a．(0，] b．(0，]
c．[0，] d．[0，]
(3)(2017·聊城模擬)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等於1的點的個數為 ( c )
a．1 b．2
c．3 d．4
[解析] (1)因為m(a，b)在圓o：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心o到直線ax＋by＝1的距離d＝＝<1，故選b．
(2)過p點作圓的切線pa、pb，連線op，如圖所示．
顯然，直線pa的傾斜角為0，
又op＝＝2，pa＝，oa＝1，因此∠opa＝，由對稱性知，直線pb的傾斜角為.若直線l與圓有公共點，
由圖形知其傾斜角的取值範圍是[0，]．故選d．
(3)因為圓心到直線的距離為＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，由數形結合知，圓上到直線的距離為1的點有3個．
[延伸**]對於例1(1)中的點m(a，b)改為圓內點，其它不變，你會做嗎？
[答案]c
[解析] 因為m(a，b)在圓內，所以a2＋b2<1，d＝＝>1，故選c．
名師點撥
判斷直線與圓的位置關係常見的有兩種方法
(1)代數法：
(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關係：dr相離．
考點2 圓與圓的位置關係
例2 已知圓c1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓c2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為 ( c )
a． b．
c． d．2
[解析] 由圓c1與圓c2相外切，
可得＝2＋1＝3，
即(a＋b)2＝9，根據基本(均值)不等式可知ab≤()2＝，當且僅當a＝b時等號成立．故選c．
[延伸**1]把本例中的「外切」變為「內切」，求ab的最大值．
[解析] 由c1與c2內切，得＝1．
即(a＋b)2＝1，又ab≤()2＝，
當且僅當a＝b時等號成立，故ab的最大值為．
[延伸**2]把本例條件「外切」變為「相交」，求公共弦所在的直線方程．
[解析] 由題意得，把圓c1，圓c2的方程都化為一般方程．
圓c1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圓c2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0為所求公共弦所在的直線方程．
[延伸**3]將本例條件「外切」變為「若兩圓有四條公切線」，試判斷直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置關係．
[解析] 由兩圓存在四條公切線，故兩圓外離，
故》3，
∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3．
∴圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0的距離d＝>1，
∴直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1相離．
名師點撥
(1)判斷兩圓位置關係的方法：
常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關係，一般不用代數法．
(2)兩圓公共弦長的求法：
兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所**段構成直角三角形，利用勾股定理求解．
〔變式訓練1〕
(1)(2018·山東棗莊第八中學第二次階段性檢測)兩圓(x－2)2＋(y－1)2＝4與(x＋1)2＋(y－2)2＝1的公切線有 ( d )
a．1條 b．2條
c．3條 d．4條
(2)若⊙o：x2＋y2＝5與⊙o1：(x－m)2＋y2＝20(m∈r)相交於a、b兩點，且兩圓在點a處的切線互相垂直，則線段ab的長度是__4__.
[解析] (1)兩圓的圓心距
d＝＝＞1＋2，∴兩圓外離，兩圓的公切線有4條．
(2)由題意⊙o1與⊙o在a處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心，
∴o1a⊥oa．
又∵|oa|＝，|o1a|＝2，
∴|oo1|＝5.又a，b關於oo1對稱，
∴ab為rt△oao1斜邊上的高的2倍．
∴|ab|＝2×＝4．
考點3 直線與圓的綜合問題
角度1 圓的切線問題
例3 (2015·高考重慶卷)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈r)是圓c：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點a(－4，a)作圓c的一條切線，切點為b，則|ab|＝ ( c )
a．2 b．4
c．6 d．2
[解析] 由題意得圓c的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圓c的圓心為(2,1)，半徑為2.因為直線l為圓c的對稱軸，所以圓心在直線l上，則2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|ab|2＝|ac|2－|bc|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|ab|＝6，故選c．
直線與圓正教案
一 直線的方程 1.直線的方程和方程的直線 定義 1 以乙個方程f x，y 0的解為座標的點都在直線l上。2 直線l上的點的座標都是方程f x，y 0的解。滿足 1 2 的方程f x，y 0是直線l的方程，同時稱直線l為方程f x，y 0的直線。2.直線的傾斜角 定義 在平面直角座標系中，對於一條與...
直線與圓專題
一 直線知識點概述 一 直線的傾斜角與斜率任何直線都有傾斜角，但不一定都有斜率。經過兩點 的直線的斜率為利用斜率相等解決三點共線問題。二 直線方程 五大形式及其適用範圍性 1 點斜式 已知直線過點，斜率為，則直線方程為，不包括垂直於軸的直線 2 斜截式 已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為，不...
直線與圓 4
第9章第2講 一 選擇題 1 直線3x 2y 4 0與2x 3y 4 0 a 平行b 垂直 c 重合 d 關於y x對稱 答案 b 2 2009 廣州二模 已知點a 1,0 直線l y 2x 4，點r是直線l上的一點 若 則點p的軌跡方程為 a y 2xb y 2x c y 2x 8d y 2x 4...