1. 如圖5—19，已知ce、cb分別是△abc和△adc的中線，且ab=ac．求證：cd=2ce．
分析用加倍法．為了證明cd=2ce，考慮ce是△abc底邊ab上的中線，故把ce延長到f，使cf=2ce，把原來證cd=2ce轉化為證明cd=cf，如此把線段「倍半」的數量關係轉化為證兩條線段的相等關係．
證明如圖5—20，延長ce至f，使ef=ce，鏈結bf，可證△ebf≌△eac．
∴bf＝ac＝ab＝bd．
又∠cbf＝∠cba+∠abf＝∠bca+∠cab＝∠cbd，bc公用，
∴△cbf≌△cbd．（sas）
∴cf＝cd，即2ce＝cd．
3. 如圖5—22，在△abc中，bd=dc，ed⊥df．求證：be＋cf＞ef．
分析本題算延長fd到g，使fd=dg，構造新△edg，通過證明△bdg≌△cdf，達到轉移線段位置的目的（如圖5-22將be+cf轉移為be+bg，將ef轉移為eg）
證明延長fd到g，使dg=df，鏈結bg．
∵∠bdg=∠cdf，bd=dc．
∴△bdg≌△cdf
∴bg=cf
鏈結eg
∵ed⊥df，又dg=df
∴eg=ef
在△ebg中，be+bg>eg，
∴be+cf>ef.
5．（本題8分）如圖,直線y = kx+6與x軸y軸分別相交於點e,f.
點e的座標為(- 8, 0), 點a的座標為(- 6,0). 點p（x,y）是第二象限內的直線上的乙個動點。
(1).求k的值；
(2).當點p運動過程中，試寫出△opa的面積s與x的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍；
(3).**：當p運動到什麼位置（求p的座標）時，△opa的面積為27／8，並說明理由
6、已知：如圖，p是正方形abcd內點，∠pad＝∠pda＝150．
求證：△pbc是正三角形．（初二）
7、設p是正方形abcd一邊bc上的任一點，pf⊥ap，cf平分∠dce．
求證：pa＝pf．（初二）
8、已知：△abc是正三角形，p是三角形內一點，pa＝3，pb＝4，pc＝5．
求：∠apb的度數．（初二）
9.如圖，在△abc中，∠abc=60°，ad、ce分別平分∠bac、∠acb，求證：ac=ae+cd.
10.如圖，ad是△abc的角平分線，∠b=2∠c，∠1=∠c，
點e在ac上．
求證：ac=ab+bd．
.證明：∵∠4=∠1+∠c，∠1=∠c，
∴∠4=2∠c．
∵∠b=2∠c，
∴∠b=∠41分
∵ad是△abc的角平分線，
∴∠2=∠3．
∵ad=ad，
∴△abd≌△aed3分
∴ab=ae，bd=ed4分
∵∠1=∠c，
∴ed=ec5分
∴ec=bd．
∴ac=ae+ec=ab+bd6分
11、△abc中，ab＝ac，∠bac=900,d、e在bc上，且∠dae=450,若bd=3,ce=4
求de的長。
解：作點b關於ad的對稱點，鏈結od、oe、oa
∴∠bad＝∠oad，ab＝ao，bd＝od
∵∠bac＝90°，∠dae＝45°
∴∠bad＋∠cae＝∠oad＋∠oae
∴∠cae＝∠oae
∵ab＝ac，∴ac＝ao
在△oae與△cae中，
ao＝ac
∠oae＝∠cae
ae＝ae
∴△oae≌△cae（sas）
∴∠aoe＝∠c 又∵∠b＝∠aod
oe＝ce
∴∠doe＝∠b＋∠c＝90°
∴de＝＝＝5
12．已知：如圖，中，，於，平分，且於，與相交於點是邊的中點，鏈結與相交於點．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）與的大小關係如何？試證明你的結論．
（1）證明：，，是等腰直角三角形．．
在和中，
，，且，
．又，，
．．（2）證明：在和中平分，
．又，．．又由（1），知，．
（3）．證明：鏈結．
是等腰直角三角形，．又是邊的中點，垂直平分．
．在中，是斜邊，是直角邊，．
13.（10分）
(1)如圖①，a、b、c三點在同一直線上，分別以ac,bc為邊在ab的同側作等邊△acd和等邊△bce,連線ae、bd，m、n分別為ae、bd的中點，連線cm、cn、mn.則△cmn的形狀是________三角形；
(2)如圖②，a、b、c三點在同一直線上，分別以ac,bc為邊在ab的同側作等腰rt△acd和等腰rt△bce．∠acd=∠bce=90°，連線ae、bd，m、n分別為ae、bd的中點，連線
cm、cn,mn.則△cmn的形狀是______三角形；
(3)如圖③，在圖②的基礎上，將△bce繞點c旋轉一定的角度，其它條件不變，請將圖形補充完整．試判斷△cmn的形狀，並說明理由．
14.（12分）一次函式y=x+4與x軸、y軸分別交於a、b兩點，e為oa上一動點，d為ob的延長線上一動點，且ae=bd
(1)當e為oa中點時，求c點座標．
(2)當e運動到x軸正半軸上，仍有ae=bd，過e作ef⊥ab於f,的值是否變化？若不變，請求出其值；若變化，請求其變化範圍．
15、已知：以△abc的兩邊ab、ac為邊向外作等腰△adb和等腰△aec，且ab=ad，ac=ae，∠bad=∠eac，dc、be交於o .
（1）求證：dc=be (2)若△adb與△ace均為等邊三角形，求∠boc的度數
（3）若∠boc=150°，ad=10，求△abd的面積.
（1）證明：∵∠bad＝∠eac
dac＝∠bae
在△dac與△bae中， ad＝ab
dac＝∠bae
ac＝ae
∴△dac≌△bae（sas）
∴dc＝be
（2）∵△dac≌△bae
∴∠1＝∠2
∴∠boc＝∠oce+∠oec=∠ace+∠aec
又∵△ace是正△，∴∠ace＝∠aec＝60° ∴∠boc＝120°
（3）過點b作bp⊥ad，垂足為p
∵△dac≌△bae，∴∠3＝∠4
∴∠boc＝∠obd+∠bdo＝∠abd+∠adb＝150°
∴∠dab＝30° 又∵bp⊥ad
∴bp＝ab 又∵ab＝ad＝10
∴bp＝5 ∴s ＝bp×ad＝25
16．已知：如圖，平面直角座標系xoy中，點a、b的座標分別為a（4，0），b（0，－4），p為y軸上b點下方一點，pb=m（m>0），以ap為邊作等腰直角三角形apm，其中pm=pa，點m落在第四象限。
（1）求直線ab的解析式；
（2）用m的代數式表示點m的座標；
（3）若直線mb與x軸交於點q，判斷點q的座標是否隨m的變化而變化，寫出你的結論並說明理由。
解：（1）設直線ab的解析式為y=kx+b（k≠0）．
則，解得
∴直線ab的解析式為y=x－42分
（2）作mn⊥y軸於點n．（見圖5）
圖5∵△apm為等腰直角三角形，pm=pa，
∴∠apm=90°
∴∠opa+∠npm=90°
∵∠nmp+npm=90°
∴∠opa=∠nmp
又∵∠aop=∠pnm=90°，
∴△aop≌△pnm。（aas3分
∴op=nm，oa=np
∵pb=m（m>0），
∴nm=m+4，on=op+np=m+8．
∵點m在第四象限，
∴點m的座標為（m+4，－m－84分
（3）答：點q的座標不變．
解法一：由（2）得nm=m+4，nb=np+pb=m+4．
∴nb=nm
∵∠bnm=90°
∴∠mbn=455分
∴∠qbo=45°，∠oqb=90°－∠qbo=45°
∴oq=ob=4
∵點m在第四象限，點b在y軸的負半軸上，
∴點q在x軸的負半軸上
∴無論m的值如何變化，點q的座標都為（－4，06分
解法二：設直線mb的解析式為y=nx－4（n≠0）
∵點m（m+4，－m－8）在直線mb上，
∴整理，得
∵m>0
∴解得∴直線mb的解析式為5分
∴無論m的值如何變化，點q的座標都為（－4，06分
17．如圖，等腰直角三角形abc中，∠bac=90°，d、e分別為ab、ac邊上的點，ad=ae，af⊥be交bc於點f，過點f作fg⊥cd交be的延長線於點g，交ac於點m。
（1）求證：△egm為等腰三角形；
（2）判斷線段bg、af與fg的數量關係並證明你的結論。
解：（1）∵等腰直角三角形abc中，∠bac=90°，（見圖6）
圖6∴ac=ab，∠acb=∠abc=45°．
又∵ad=ae，∠cad=∠bae．
∴△acd≌△abe．（sas）
∴∠1=∠21分
∵∠bac=90°，∴∠3+∠2=90°．
∵fg⊥cd，∴∠1+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴∠gem=∠gme
∴eg=mg，△egm為等腰三角形2分
（2）答：線段bg、af與fg的數量關係為bg=af+fg3分
證法一：過點b作ab的垂線，交gf的延長線於點n（見圖6）
∵bn⊥ab，∠abc=45°．
∴∠fbn=45°=∠fba
∵fg⊥cd
∴∠bfn=∠cfm=90°－∠dcb
∵af⊥be
∴∠bfa=90°－∠ebc，∠5+∠2=90°
由（1）可得∠dcb=∠ebc，
∴∠bfn=∠bfa．
又∵bf=bf．
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