列方程解應用題（行程問題）專題
行程問題是指與路程、速度、時間這三個量有關的問題。我們常用的基本公式是:
路程＝速度×時間；速度＝路程÷時間；時間＝路程÷速度.
行程問題是個非常龐大的型別,多年來在考試中屢用不爽,所佔比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習,熟悉了行程問題的學生,在多種型別的習題面前都會顯得得心應手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。
1. 單人單程：
例1：甲，乙兩城市間的鐵路經過技術改造後，列車在兩城市間的執行速度從提高到,執行時間縮短了。甲，乙兩城市間的路程是多少?
【分析】如果設甲，乙兩城市間的路程為,那麼列車在兩城市間提速前的執行時間為，提速後的執行時間為.
【等量關係式】提速前的執行時間—提速後的執行時間=縮短的時間.
例2：某鐵路橋長1000，現有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1，整列火車完全在橋上的時間共。求火車的速度和長度。
【分析】如果設火車的速度為，火車的長度為，用線段表示大橋和火車的長度，根據題意可畫出如下示意圖：
y1000
60x1000
y40x
【等量關係式】火車行駛的路程=橋長+火車長；
火車行駛的路程=橋長-火車長
舉一反三：
1．小明家和學校相距。小明從家出發到學校，小明先步行到公共汽車站，步行的速度為60，再乘公共汽車到學校，發現比步行的時間縮短了，已知公共汽車的速度為，求小明從家到學校用了多長時間。
2．根據我省「十二五」鐵路規劃，連雲港至徐州客運專線專案建成後，連雲港至徐州的最短客運時間由現在的2小時18分鐘縮短為36分鐘，其速度每小時將提高.求提速後的火車速度。（精確到）
3．徐州至上海的鐵路里程為，從徐州乘」c 「字頭列車a，」d」字頭列車b都可直達上海，已知a車的速度為b車的2倍，且行駛的時間比b車少.求a車的速度及行駛時間。（同學們可能會認為這是雙人行程問題，其實這題的型別可歸結於例1的型別，把b車的速度看成是a提速後的速度，是不是也可看成單人單程的問題呀！
）4．一列勻速前進的火車用15秒的時間通過了乙個長300公尺的隧道（即從車頭進入隧道到車尾離開隧道）。又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發出的一束光垂直照射火車2.5秒，（光速）
1）求這列火車的長度
2）如果這列火車用25秒的時間通過了另乙個隧道，求這個隧道的長
2.單人雙程（等量關係式：來時的路程=回時的路程）：
例1：某校組織學生乘汽車去自然保護區野營，先以的速度走平路，後又以的速度爬坡，共用了;返回時汽車以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了.學校距自然保護區有多遠。
【分析】設平路的長度為，坡路的長度為，則去時走平路用了，去時爬坡用了，而去時總共用了，這時，時間是可以相加的；回來時汽車下坡用了，回來時走平路用了，而回來時總共用了.則學校到自然保護區的距離為。
【等量關係式】去時走平路用的時間+去時爬坡用的時間=去時用的總時
回來時走平路用的時間+回來時爬坡用的時間=回來時用的總時間
3.雙人行程:
（ⅰ）單塊應用：只單個應用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。
1)同時同地同向而行：a,b兩事物同時同地沿同乙個方向行駛
例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時同地出發，同向而行。經過多少時間兩車相距。
【分析】如果設經過後兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據題意可畫出如下示意圖：
80x km
乙甲 60x km 280km
【等量關係式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離
2）同時同地背向而行：a，b兩事物同時同地沿相反方向行駛
例：甲車的速度為，乙車的速度為，兩車同時同地出發，背向而行。經過多少時間兩車相距。
【分析】如果設經過後兩車相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據題意可畫出如下示意圖：
甲乙60x km 80x km
280 km
【等量關係式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280
3）同時相向而行（相遇問題）:
例:甲，乙兩人在相距的a,b兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時處發後相遇，求甲，乙兩人的速度。
【分析】如果設甲的速度為，則乙的速度為，甲走過的路程為，乙走過的路程為，根據題意可畫出如下示意圖：
甲 1.5x km 1.5×2x km 乙
a b
10 km
280 km
【等量關係式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10
4）追及問題：
例：一對學生從學校步行去博物館，他們以的速度行進後，一名教師騎自行車以的速度按原路追趕學生隊伍。這名教師從出發到途中與學生隊伍會合共用了多少時間？
【分析】如果設這名教師從出發到途中與學生隊伍會合共用了，則教師走過的路程為，學生走過的路程為教師出發前走過的路程加上教師出發後走過的路程，而學生在教師出發前走過的路程為，學生在教師出發後走過的路程為，又由於教師走過的路程等於學生走過的路程。根據題意可畫出如下示意圖：
學生 5x km
教師 15x km
【等量關係式】教師走過的路程=學生在教師出發前走過的路程+學生在教師出發後走過的路程
5）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：
例:甲，乙兩人都從a地出發到b地，甲出發後，乙才從a地出發，乙出發後，甲，乙兩人同時到達b地，已知乙的速度為，問，甲的速度為多少？
【分析】如果設甲的速度為，則乙出發前甲走過的路程為，乙出發後甲走過的路程為，甲走過的路程等於乙出發前甲走過的路程加上乙出發後甲走過的路程，而乙走過的路程為，甲走過的路程等於乙走過的路程。根據題意可畫出如下示意圖：
甲 x km 3x km
乙50×3 km
【等量關係式】乙走過的路程=乙出發前甲走過的路程加上乙出發後甲走過的路程
6）不同時相向而行
例：甲，乙兩站相距，一列慢車從甲站出發，速度為；一列快車從乙站出發，速度為。兩車相向而行，慢車先出發，快車開出後多少時間兩車相遇？
【分析】如果設快車開出後兩車相遇，則慢車走過的路程為，快車走過的路程為100。根據題意可畫出如下示意圖：
慢車 60x 100x 快車
448km
【等量關係式】總路程=快車出發前慢車走過的路程+快車出發後慢車走過的路程+快車走過的路程
注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行、不同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問題就會迎刃而解。
（ⅱ）結合應用：同向、背向、相向、追擊兩兩結合起來應用。
1） 相向而行+背向而行
例：a，b兩地相距，小明從a地騎自行車到b地，小麗從b地騎自行車到a地，兩人同時出發相向而行，經過後兩人相遇；再過，小明餘下的路程是小麗餘下的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？
【分析】如果設小明騎車的速度為，小麗騎車的速度為，相遇前小明走過的路程為，小麗走過的路程為；相遇後兩人背向而行，小明走過的路程為，小麗走過的路程為。根據題意可畫出如下示意圖：
小明小麗
相遇前 x y
a b
36km
x-0.5y 0.5y 0.5x y-0.5x
小麗小明
【等量關係式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程
相遇後小明餘下的路程=2×相遇後小麗餘下的路程
2)同向而行+相向而行
例：乙個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千公尺/時的速度前進，突然，1號隊員以45千公尺/時的速度獨自行進，行進10千公尺後掉轉車頭，仍以45千公尺/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合。1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經過了多長時間？
【分析】由題意「1號隊員以45千公尺/時的速度獨自行進，行進10千公尺後掉轉車頭」可知1號隊員從離隊到調轉車頭前的時間為，不妨設1號隊員從調轉車頭到與其他隊員重新回合的時間為。根據題意可畫出如下示意圖：
所有隊員
1號隊員 35x 45x
10km
【等量關係式】1號隊員從離隊到調轉車頭這段時間所有隊員走的路程+1號隊員從調轉車頭到與其他隊員重新回合這段時間內所有隊員走的路程+1號隊員從調轉車頭到與其他隊員重新回合這段時間內1號隊員走的路程=10。
舉一反三：
1.甲，乙兩人從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯40級，乙平均每分鐘爬樓梯50級，甲先出發，結果兩人同時到達樓頂。問從樓底到樓頂共有樓梯多少級？
2甲，乙兩人在相距的兩地相背而行，後甲，乙兩人相距，已知甲的速度為，求乙的速度。
3.小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4公尺，小明每秒跑6公尺，（1如果他們站在百公尺跑道的兩端同時相向起跑，那麼幾秒後兩人相遇？（2）如果小明站在百公尺跑道的起點處，小彬站在他前面10公尺處，兩人同時同向起跑，幾秒後小明能追上小彬。
4.一隊學生去校外進行軍事野營訓練。他們以的速度行進，走了的時候，學校要將乙個緊急通知傳給隊長。通訊員從學校出發，騎自行車以的速度按原路追上去，隊長出發後經過多少時間接到通知？
5.兩輛汽車同時從a地出發，沿一條公路開往b地。甲車比乙車每小時多行8千公尺，甲車比乙車早40分鐘到達途中的c地，當乙車到達c地時，甲車正好到達b地。
已知c至b地的路程是40千公尺，求乙車每小時行多少km？
6.a，b兩地相距，甲，乙兩車分別從a，b兩地同時出發，相向而行。已知甲車速度為，乙車速度為，經過多少小時兩車相距。
7．甲乙兩車同時從a地出發，在相距900千公尺的ab兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是每小時25千公尺，乙車的速度是每小時20千公尺。請問：
（1）甲車第一次從後面追上乙車是在出發後多長時間？
（2）甲車在第一次從後面追上乙車之後又經過多長時間第二次從後面追上乙車？
（3）甲乙兩車第二次迎面相遇是在出發後多長時間？
4.行程問題中的工程問題：
乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學們做起來覺得無從下手。其實只要把路程看做單位「1」（至於為什麼，結合以下例題講解），這就相當於把行程問題轉化為工程問題。
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