直線與圓題型總結

一、直線與方程

題型1直線的傾斜角與斜率

例1. 過點和的直線的斜率等於1, 則的值為( )

(abc)1或3 (d)1或4

【答案】a

【解析】由題得，故選a

例2. 若, 則直線的傾斜角的取值範圍（）

(a) (b) (c) (0d)

【答案】b

【解析】由題得,直線的斜率為，

，即，所以，，故選b.

例3. 直線的傾斜角是（）．

（ab）（c）（d）

【答案】c

【解析】由題得,直線的斜率，即，所以，。

例4. 連線和兩點的直線斜率為____,與y軸的交點的座標為____.

【答案】；

【解析】由題得,和兩點的直線斜率為，所以直線的方程為，令，得，所以，點的座標為

變式題1.下列說法正確的是（　　　）

a.直線的傾斜角為，則此直線的斜率為

b.直線的斜率為，則此直線的傾斜角為

c.若直線的斜率為，則

d.任一直線都有傾斜角，但它不一定有斜率

【答案】d

2.如果過點和的直線的斜率為1，那麼的值為（）

a.1b.4c.1或3 d.1或4

【答案】a

【解析】由斜率公式

3.設直線的傾斜角為，且，則滿足（）

a. b. c. d.

【答案】d

4.已知直線的斜率為，求直線的傾斜角的取值範圍。

【答案】

【解析】，，

5.過點的直線與線段相交，若,求直線的斜率的取值範圍。

【答案】

【解析】由題得，,，結合影象易知

題型2.直線的方程

1.在軸和軸上的截距分別是的直線方程是（）

a. b. c. d.

【答案】c.

【解析】由直線方程的截距式知，所求直線方程為，即，故選c。

2.過點且垂直於直線的直線方程為（）

a. b. c. d.

3.過直線與的交點且與第一條直線垂直的直線方程是（　　　）

b. c. d.

【答案】b

4.已知過點和的直線與直線平行，則的值為（　　）

a. b. c. d.10

【答案】d.

【解析】由題得,所以，由斜率公式得

5.把直線繞點逆時針旋轉後，所得的直線的方程是（）

a. b. c. d.

【答案】b

【解析】由題知直線的斜率為1，所以其傾斜角為，則直線的傾斜角。的斜率為，，即。

6.直線過點和第

一、二、四象限，若直線的橫截距和縱截距之和為6，求直線的方程。

【答案】或

【解析】由題，設直線的橫截距為，則它的縱截距為，由於直線在兩座標軸上的截距都不為0，故直線的方程為。在該直線上，，即為，。

當時，直線的方程為，即為，經過第

一、二、四象限；

當時，直線的方程為，即為，也經過第

一、二、四象限；

綜上，所求直線的方程為或。

7.三角形的三個頂點、, ,求三角形三邊所在直線方程及bc邊上的高所在直線的方程。

【答案】直線ac的方程為；直線ab的方程為；直線bc的方程為；

bc邊上的高所在直線的方程為，即為

【解析】直線ac過點、，由兩點式得，即

直線ab過點、，由兩點式得，即

直線bc過點、，由兩點式得，即

因為bc邊上的高所在的直線過點，且垂直於bc，則，,

， bc邊上的高所在直線的方程為，即為

8.求經過直線的交點且平行於直線的直線方程.

變式題1.（2013上海春季）直線的乙個方向向量是（　　）

a． b． c． d．

【答案】d

2.(13山東理) 過點（3，1）作圓作圓的兩條切線切點為a，b，則直線ab的方程

（ab）

（cd）

【答案】a

題型3.直線的平行與垂直

1.已知點，, ,.若,則的值為（）

a.0b.3c.4 d.2

【答案】a

【解析】

2.若直線經過點和，且與經過點、斜率為的直線垂直，則實數值是（）

【答案】a

【解析】，且

3.若直線與直線平行，則

【答案】

【解析】由得，，當時，，

4.與直線平行且過點的直線的方程是

5. 已知二直線和，若，在軸上的截距為-1，則m=_____，n=____.

題型4.三點共線問題：

1.（2023年浙江）已知，若平面內三點，，共線，則

【答案】

【解析】平面內三點共線，則,即，得，

解得題型5.過定點

1.不論為何值，直線恆過定點（）

abcd.

【答案】b.

【解析】直線變形為，直線過定點

2.不論為何值，直線恆過定點

題型6.直線的交點座標與距離公式

1.點到直線的距離為（）

a 2 b c 1 d

2.直線與直線的距離是

3.到直線的距離為2的直線方程為（）

ab.c.或 d.或

【答案】c

4.若直線與直線的交點位於第一象限,則實數的取值範圍是( )

a.(-∞,-1b.(-∞,-1c.(1d.［1,+∞)

【答案】c

【解析】由題得：與聯立方程組得

5.①求平行於直線3x+4y-12=0,且與它的距離是7的直線的方程

②求垂直於直線x+3y-5=0, 且與點p(-1,0)的距離是的直線的方程.

題型7.對稱問題

1.直線x－2y＋1＝0關於直線x＝1對稱的直線方程是（）

a.x＋2y－1＝0 b.2 x＋y－1＝0 c.2 x＋y－3＝0 d. x＋2y－3＝0

【答案】d

【解析】由，得交點，且可知所求直線的斜率為，直線方程為

即x＋2y－3＝0

2.已知直線，。若直線關於直線對稱，則直線的方程是（）

a b. c. d.

【答案】b

【解析】直線關於直線對稱，則上任一點關於的對稱點都在上，故與的交點在上，又易知為上一點，設其關於的對稱點為，則且

解得即為上兩點，所以可得的直線方程為。

3.已知直線，求：

（1）點關於直線的對稱點座標；

（2）直線關於直線的對稱直線的方程；

（3）直線關於點的對稱直線的方程。

4.一束光線從原點出發，經過直線反射後通過點，求反射光線所在直線的方程。

5.光線從點射到軸上，經反射以後經過點，則光線從到的距離為

題型8.最值或範圍問題

1.點在直線圖象上，當時，求（1）的最大值與最小值；

（2）的取值範圍。

2.已知直線：和點、,試在上找一點p，使得的值最大，並求出這個最大值。

【答案】

【解析】關於直線：的對稱點是，則直線的方程為。直線與直線：的交點即為所求，相應的的最大值為

3..點在直線上，則的最小值是

4.已知點，，點在直線上，求取得最小值時點的座標。

5.(14四川理) 設，過定點a的動直線和過定點b的動直線交於點，則的最大值是。

【答案】5

6.(12浙江理) 定義：曲線c上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線c到直線l的距離．已知曲線c1：

y＝x 2＋a到直線l：y＝x的距離等於c2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直線l：

y＝x的距離，則實數a

【答案】

【解析】c2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圓心(0，—4)，圓心到直線l：y＝x的距離為：

，故曲線c2到直線l：y＝x的距離為．另一方面：曲線c1：

y＝x 2＋a，令，得：，曲線c1：y＝x 2＋a到直線l：

y＝x的距離的點為(，)，．

2、圓與方程

題型1.圓的方程

例1 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程並判斷點與圓的關係．

【分析】欲求圓的標準方程，需求出圓心座標的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關係，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關係，若距離大於半徑，則點在圓外；若距離等於半徑，則點在圓上；若距離小於半徑，則點在圓內．

解法一：（待定係數法）

設圓的標準方程為．

∵圓心在上，故．

∴圓的方程為．

又∵該圓過、兩點．

∴解之得：，．

所以所求圓的方程為．

解法二：（直接求出圓心座標和半徑）

因為圓過、兩點，所以圓心必**段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即．

又知圓心在直線上，故圓心座標為

∴半徑．

故所求圓的方程為．

又點到圓心的距離為

．∴點在圓外．

例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．

【分析】根據問題的特徵，宜用圓的標準方程求解．

【解析】則題意，設所求圓的方程為圓．

圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的座標為或．

又已知圓的圓心的座標為，半徑為3．

若兩圓相切，則或．

(1)當時，，或(無解)，故可得．

∴所求圓方程為，或．

(2)當時，，或(無解)，故．

∴所求圓的方程為，或．

例3 求經過點，且與直線和都相切的圓的方程．

【解析】∵圓和直線與相切，

∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，

又圓心到兩直線和的距離相等．

∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．

又∵圓過點，

∴圓心只能在直線上．

設圓心∵到直線的距離等於，

∴．化簡整理得．

解得：或

∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．

∴所求圓的方程為或．

例4、設圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．

【分析】要求圓的方程，只須利用條件求出圓心座標和半徑，便可求得圓的標準方程．滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心座標，進而確定圓的半徑，求出圓的方程．

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