一、填空題（每小題3分，共15分）
（1） 設, ,，則至少發生乙個的概率為
（2） 設服從泊松分布，若，則
（3） 設隨機變數的概率密度函式為今對進行8次獨立觀測，以表示觀測值大於1的觀測次數，則
（4） 元件的壽命服從引數為的指數分布，由5個這種元件串聯而組成的系統，能夠正常工作100小時以上的概率為
（5） 設測量零件的長度產生的誤差服從正態分佈，今隨機地測量16個零件，得，. 在置信度0.95下，的置信區間為
解：（1）得
（2） 故 .
（3），其中
.（4）設第件元件的壽命為，則. 系統的壽命為，所求概率為
（5）的置信度下的置信區間為
所以的置信區間為（）.
二、單項選擇題（下列各題中每題只有乙個答案是對的，請將其代號填入（ ）
中，每小題3分，共15分）
（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是
（a（b）.
（c）.
（d（2）設是隨機變數，其分布函式分別為，為使
是某一隨機變數的分布函式，在下列給定的各組數值
中應取 （ab）.
（cd（3）設隨機變數的分布函式為，則的分布函式為
（ab）.
（cd（4）設隨機變數的概率分布為 .
且滿足，則的相關係數為
（a）0. （bcd
（5）設隨機變數且相互獨立，根據切比
雪夫不等式有
（a）. （b）. （c）. （d
解：（1）（a）：成立，（b應選（b）
（2應選（c）
（3）應選（d）
（4）的分布為
，所以，
於是應選（a）
（5）由切比雪夫不等式
應選（d）
三、（8分）在一天中進入某超市的顧客人數服從引數為的泊松分布，而進入
超市的每乙個人購買種商品的概率為，若顧客購買商品是相互獨立的，
求一天中恰有個顧客購買種商品的概率。
解：設『一天中恰有個顧客購買種商品』
一天中有個顧客進入超市』
則四、（10分）設考生的外語成績（百分制）服從正態分佈，平均成績（即參
數之值）為72分，96以上的人佔考生總數的2.3%，今任取100個考生
的成績，以表示成績在60分至84分之間的人數，求（1）的分布列. （2）
和.解：（1），其中
由得 ，即，故
所以.故的分布列為
（2），.
五、（10分）設在由直線及曲線所圍成的區域
上服從均勻分布，
（1）求邊緣密度和，並說明與是否獨立.
（2）求.
解：區域的面積
的概率密度為
（1）（2）因，所以不獨立.
（3）六、（8分）二維隨機變數在以為頂點的三角形區
域上服從均勻分布，求的概率密度。
解1的概率密度為
設的概率密度為，則
當或時當時
所以的密度為
解2：分布函式法，設的分布函式為，則
故的密度為
七、（9分）已知分子運動的速度具有概率密度
為的簡單隨
機樣本 （1）求未知引數的矩估計和極大似然估計； （2）驗證所求得的矩估計是否為的無偏估計。
解：（1）先求矩估計
再求極大似然估計
得的極大似然估計 ，
（2）對矩估計
所以矩估計是的無偏估計.
八、（5分）一工人負責臺同樣工具機的維修，這台工具機自左到右排在一條直
線上，相鄰兩台工具機的距離為（公尺）。假設每台工具機發生故障的概率均為
，且相互獨立，若表示工人修完一台後到另一台需要檢修的工具機所走
的路程，求.
解：設從左到右的順序將工具機編號為
為已經修完的機器編號，表示將要去修的工具機號碼，則於是
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