圖形的相似

教學目標：

1、能通過生活中的例項認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比；

2、了解線段的比和成比例的線段；

3、會根據相似多邊形的概念識別兩個多邊形是否相似，並會運用相似多邊形的性質進行相關的計算；

4、在學習相似圖形的過程中，提高對相似圖形中的對應關係的認識，進一步增強嚴謹的數學推理能力。

教學重點與難點：會根據相似多邊形的概念識別兩個多邊形是否相似，並會運用相似多邊形的性質進行相關的計算。

相關知識鏈結

1、比例的意義：表示兩個比相等的式子叫比例，如；

比例的基本性質：比例的兩內項的乘積等於兩外項的乘積；

2、多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形；

3、全等圖形的概念及性質：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形，全等圖形的對應角相等，對應邊相等。

知識點一、相似圖形的定義

定義：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形。

（1）兩個圖形相似，其中乙個圖形可以看作由另乙個圖形放大或縮小得到；

（2）全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形，即不僅形狀相同，大小也相同；

（3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與圖形的大小、位置無關，這也是相似圖形的本質。

【例題】下列圖形不是相似圖形的是（）

a、同一張底片沖洗出來的兩張不同尺寸的**

b、用放大鏡將乙個小圖案放大過程中原有圖案和放大圖案

c、某人的側身**和正面**

d、大小不同的兩張同版本的中國地圖

【變式】下列各**形：1.兩個平行四邊形；2.

兩個圓；3兩個矩形；4.有乙個內角是80°的兩個等腰三角形；5.兩個正五邊形；6.

有乙個內角是100°的兩個等腰三角形。其中一定是相似圖形的是填序號）。

知識點二、四條線段成比例

對於四條線段啊a,b,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如=（即ad=bc），我們就說這四條線段成比例。（注意單位和順序）

比例的相關性質（拓展）

（1）比例基本性質：若=，則ad=bc；若ad=bc（bd≠0），則=。

（2）合比性質：若=，則=或=（a±b，c±d均不為0）

（3）更比性質：若=，則或 (a,b,c,d均不為0)

（4）等比性質：若=,則，其中.

【例題】下列各組線段中，成比例的是（）

a、5cm，6cm，7cm，8cmb、3cm，6cm，2cm，5cm

c、2cm，4cm，6cm，8cmd、12cm，8cm，15cm，10cm

【變式】已知四條線段a、b、c、d的長度，試判斷它們是否成比例？

（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm;

（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm.

知識點三、相似多邊形

定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那麼這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

性質：相似多邊形的對應角相等，對應變成比例。

【例題】下列說法正確的是（）

a、兩個等腰三角形相似b、所有的等腰三角形相似

c、兩個等腰直角三角形相似 d、所有的正多邊形相似

【例題】下圖中的兩個矩形相似嗎？為什麼？若相似，相似比是多少？滿足什麼條件的兩個矩形一定相似？

【變式】如上右圖所示的兩個四邊形相似，求未知邊x，y的長度和角α的大小。

【隨堂演練】

1、已知，求的值。

2、已知甲、乙兩個地圖，甲地圖的比例尺是1：20000，乙地圖的比例尺是1：30000，現把地面上300m表示在兩個地圖上，則需要的距離大的是（）

a、甲地圖 b、乙地圖 c、一樣大 d、無法比較

3、如圖所示，已知在梯形abcd中，ef∥ab∥cd，ab=9,cd=4,若ef把梯形分成的兩個小梯形相似，求ef的長。

4、從乙個矩形中減去乙個正方形，如圖所示，若剩下的矩形與原矩形相似，求原矩形的長與寬的比。

5、如圖所示，小明有乙個矩形相框，外框abcd的長、寬分別是20cm，14cm，邊框的寬度為2cm。矩形abcd與矩形efgh相似嗎？若不相似，上、下邊框的寬度與左、右邊框的寬度滿足什麼條件時，這兩個矩形相似？

6、閱讀下面的短文，並解答下列問題：

我們把相似的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。

如圖所示，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等於相似比（a:b）。

設s甲、s乙表示這兩個正方體的表面積，則。

又設v甲、v乙表示這兩個正方體的體積，則。

（1）下列兩個幾何體中，一定屬於相似體的是（）

a、兩個球體 b、兩個圓椎體 c、兩個圓柱體 d、兩個長方體

（2）請歸納出相似體的三條主要性質：

①相似體的一切對應線段長的比等於

②相似體的表面積的比等於

③相似體的體積的比等於

【中考真題】

在研究相似問題時，甲、乙兩同學的觀點如下：

甲：將邊長為3，4，5的三角形按左圖中的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距均為1，則新三角形與原三角形相似。

乙：將鄰邊長為3和5的矩形按右圖的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應變間距均為1，則新矩形與原矩形不相似。

對於兩人的觀點，下列說法正確的是（）

a、兩人都對 b、兩人都不對 c、甲對、乙不對 d、甲不對、乙對

【易錯歸納】

1、一塊長3m，寬1.5m的矩形黑板（四邊形abcd）如圖所示，鑲在其外圍的木質邊框寬7.5cm。邊框的內外邊緣所成的矩形相似嗎？為什麼？

2、已知ab=0.5m，bc=25cm，a』b』=20cm，b』c』=0.1m，問ab，bc，a』b』，b』c』是否成比例。

3、若△abc的三邊長分別為3，4，5，△a』b』c』有兩邊長分別為6，10，而且這兩個三角形相似，試求△a』b』c』的第三邊長。

【課後作業】

1、兩地實際距離是500m，畫在圖上的距離是25cm，若在此圖上量得a，b兩地相距40cm，則a，b兩地的實際距離是（）

a、800m b、8000m c、32250m d、3225m

2、已知，則的值是（）

abcd、

3、如圖所示，在長為8cm、寬為4cm的矩形中，截去乙個矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下的矩形的面積是（）

a、2cm2b、4 cm2 c、8 cm2 d、16 cm2

4、在一塊長和寬分別為3m和2m的矩形塑料板四周鑲上木條，若在長邊上鑲上的木條的寬為0.5m，則要使木條內緣圍成的矩形與木條外緣圍成的矩形相似，在寬邊上鑲的木條的寬是多少？

4、乙個鋼筋三腳架邊長為20cm，50cm，60cm，現要做乙個與其相似的鋼筋三腳架，只有長為30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為邊，從另一根上截下兩段（允許有餘料）作為另兩邊，有幾種不同的截法？

圖形的相似

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