圖形的相似與全等

九、圖形的相似與全等(5課時)

教學目標：

1．立足教材，打好基礎，查漏補缺，系統複習，熟練掌握本部分的基本知識、基本方法和基本技能.

2．讓學生自己總結交流所學內容，發展學生的語言表達能力和合作交流能力．

3．通過學生自己歸納總結本部分內容，使他們在動手操作方面，探索研究方面，語言表達方面，分類討論、歸納等方面都有所發展．

教學重點與難點

重點：將本部分的知識有機結合，強化訓練學生綜合運用數學知識的能力，．

難點：把數學知識轉化為自身素質. 增強用數學的意識．

教學時間：5課時

【課時分布】

圖形的相似及其全等在第一輪複習時大約需要5個課時，其中包括單元測試.下表為內容及課時安排:

教學過程：

【知識回顧】

1、知識脈絡

．2、基礎知識

比例線段，若（或a∶b=c∶d），則四條線段a、b、c、d叫做比例線段.

比例基本性質：若，則ad=bc.

在比例中運用設k法.

相似多邊形，對應邊成比例，對應角相等.（識別方法）

相似三角形的相似比（當k=1時,得特殊的相似三角形，稱為全等三角形）.

相似三角形的判定定理：

(1)如果乙個三角形的兩角分別與另乙個三角形的兩角對應相等，那麼兩個三角形相似；

(2)如果乙個三角形的兩邊分別與另乙個三角形的兩邊對應成比例，並且夾角對應相等，那麼兩個三角形相似；

(3)如果乙個三角形的三條邊與另乙個三角形的三條邊對應成比例，那麼兩個三角形相似；

(4)如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似．

相似三角形的性質定理：

(1)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的對應邊成比例，對應角相等.

(2)若兩個三角形相似，它們對應中線的比，角平分線的比，高的比都等於相似比.

(3)若兩個三角形相似，它們周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方.

直角三角形中的射影定理.

利用相似三角形的性質解決一些實際問題.

畫相似圖形，利用位似方法，把乙個多邊形放大和縮小.

全等三角形的判定定理：sss、sas、asa、aas、hl.

命題、定理、公理.

五種基本作圖及簡單的作圖題.

3、能力要求

例1 已知△abc中，∠acb=90，cd⊥ab於d， ad∶bd=2∶3且cd=6.

求（1）ab；（2）ac.

【分析】設ad=2k，bd=3k.根據直角三角形和它斜邊上的高，可知△abc∽△acd∽△cbd.通過相似三角形對應邊成比例求出其中k的大小；但是如果根據用射影定理，那麼就可以直接計算出k的大小.

解：設ad=2k，bd=3k（k >0）.

∵∠acb=90， cd⊥ab.∴cd2=adbd，

∴62=2k3k，∴k=.

∴ab=.

又∵ac2=adab，∴ac =.

【說明】解題的方法可以不止一種，本題採用了補充的射影定理來解，其中通過設k法

將兩線段的比轉化成兩線段的長2k和3k，建立關於k的等式.在含有比例的解題中設k法是常用的解題方法之一.

例2 已知△abc中，∠acb=90，ch⊥ab，he⊥bc，hf⊥ac.

求證：（1）△hef ≌△ehc；（2）△hef∽△hbc.

【分析】從已知條件中可以獲得四邊形cehf是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊eh,根據矩形的性質可知ef=ch,hf=ec.

要證明三角形相似，從條件中得∠fhe=∠chb=90,由全等三角形可知，∠hef=∠hcb,這樣就可以證明兩個三角形相似.

【證明】∵he⊥bc，hf⊥ac，

∴∠ceh =∠cfh=90.又∵∠acb=90，∴四邊形cehf是矩形.

∴ef=ch,hf=ec，∠fhe=90.

又∵he=eh，

∴△hfe ≌△ehc.∴∠hef=∠hcb.

∵∠fhe=∠chb=90，

∴△hef∽△hbc.

【說明】在這一題的分析過程中，走「兩頭湊」比較快捷，從已知出發，發現有用的資訊，從結論出發，尋找解決問題需要的條件.解題中還要注意上下兩小題的「台階」關係.培養學生良好的思維習慣.

例3 兩個全等的含30，60角的三角板ade和abc如圖所示放置，e，a，c三點在一條直線上，連線bd，取bd的中點m，鏈結me，mc.試判斷△emc的形狀，並說明理由.

【分析】判斷乙個三角形的形狀，可以結合所給出的圖形作出假設，或許是等腰三角形.這樣就可以轉化為另乙個問題：嘗試去證明em= mc，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形.

這時思考的問題就可以轉化為這樣乙個新問題：如何構造一對全等三角形？根據已知點m是直角三角形斜邊的中點，產生聯想：

直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：md= mb= ma.鏈結m a後，可以證明△mde≌△mac.

【答】：△emc的形狀是等腰直角三角形.

【證明】連線am,有題意得,

de = ac，ad=ab，∠dae+∠bac=90. ∴∠dab=90.

∴△dab為等腰直角三角形.

又∵md= mb，

∴m a= md= mb，am⊥db，∠mad=∠m ab=45.

∴∠mde=∠mac=105， ∠dma=90.

∴△mde≌△mac.

∴∠dme=∠amc，me=mc.

又∠dme+∠ema=90，

∴∠amc+∠ema=90.

∴mc⊥em.

∴△emc的形狀是等腰直角三角形.

【說明】構造全等三角形是解決這個問題的關鍵，那麼構造全等又如何進行的呢？對條件的充分認識和對知識點的聯想可以找到新增輔助線的途徑.構造過程中要不斷地轉化問題或轉化思維的角度.

會轉化，善於轉化，更能體現思維的靈活性.在問題中創設三角板為情境也是考題的乙個熱點.

例4 如圖，已知∠mon=90，等邊三角形abc的乙個頂點a是射線om上的一定點，頂點b與點o重合，頂點c在∠mon內部.

（1）當頂點b在射線on上移動到b1時，鏈結ab1為一邊的等邊三角形ab1c1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；

（2）設ab1與oc交於點q，ac的延長線與b1c1交於點d.求證：；

（3）鏈結cc1，試猜想∠acc1為多少度？並證明你的猜想.

【分析】用尺規作圖畫出符合題意的等邊三角形ab1c1是對問題（2）研究的關鍵.分別以a、b1兩點為圓心，ab1長為半徑作弧，兩弧的交點即為點c1.然後把等積式改寫比例式，找出所需的兩個相似三角形.

【解】（1）如圖所示；

【證明】（2）∵△aoc與△ab1c1等邊三角形，

∴∠acb=∠ab1d=60.

又∵∠caq=∠b1ad, ∴△acq∽△ab1d；

(3) 猜想∠acc1=90.

證明:∵△aoc和△ab1c1為正三角形,ao=ac，ab1=ac1，

∴∠oac=∠c1ab1，

∴∠oac-∠caq=∠c1ab1-∠caq，∴∠oab1=∠cac1 .∴△ao b1 ≌ △ac c1.

∴∠acc1=∠aob1=90.

【說明】問題中要求學生畫出正△ab1c1，是對學生理解能力和動手能力的考驗,教材中安排的五種基本作圖，教學中應當給予一定的重視.同時通過比例線段確認要證的相似三角形是常用方法之一. 問題(3) 是一道結論開放的問題，根據對已知條件的分析，對圖形的觀察，猜想直角，再根據所推斷出的目標，去證明猜想是正確的.

這樣既培養學生的合情推理能力，也給了學生乙個探索的平台.

例5 (1)已知如圖①，在△aob和△cod中，oa=ob，oc=od，∠aob=∠cod=60.

求證：①ac=bd,②∠apb=60.

(2) 如圖②，在△aob和△cod中，oa=ob,oc=od, ∠aob=∠cod=α,則ac與bd間的等量關係式為apb的大小為

(3) 如圖③，在△aob和△cod中，oa=kob,oc=kod(k>1), ∠aob=∠cod=α,則ac與bd間的等量關係式為apb的大小為

【分析】要證ac=bd，在圖①可以找ac 與bd所在的兩個三角形全等。即證明△aoc≌△bod可以解決.求∠apb的度數可以通過三角形內角和轉化成∠aob的度數.

(2)、 (3)題的答案，可以「複製」（1）題中的解題思路來完成.

【證明】∵△aob和△cod為正三角形,

∴oa=ob， od=oc，∠aob=60，∠cod=60.

∵∠aob+∠boc=∠cod+∠boc，∴∠aoc=∠bod.

∴△aoc≌△bod ，∴ac=bd.∴∠oac=∠obd，

∴∠apb=∠aob= 60.

(2)ac與bd間的等量關係式為ac=bd；∠apb的大小為α.

(3)ac與bd間的等量關係式為ac=kbd；∠apb的大小為180-α.

【說明】三個問題的設計是乙個逐步深入的過程,有特殊到一般的過程,圖形的展示是乙個動態過程,但在變化中卻蘊含著不變的事項,例如解決問題時都用到了△aoc和△bod，都用到了三角形內角和定理來決定∠apb與α的大小關係. (2) 、(3)小題的解決思路可從題(1)中吸取.這也是這樣一類變式題常用的思維方法.

例6 一塊直角三角形木板的一條直角邊ab長為1.5m，面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成乙個面積最大的正方形，請兩位同學進行設計加工方案，甲設計方案如圖(1),乙設計的方案如圖(2) .

你認為那位同學設計的方案較好？試說明理由.（加工損耗忽略，計算結果可保留分數）

【分析】方案(1),設正方形的邊長為x m，通過相似三角形對應邊成比例建立方程,求出邊長.

方案(2), 設正方形的邊長為xm,通過相似三角形對應高的比等於相似比建立方程, 求出邊長.

【解】方案(1)：有題意可知, de∥ba，

得△cde∽△cba.∴；

方案(2):作bh⊥ac於h. de∥ac，得△bde∽△bac.

∴.∵∴如圖(1)加工出的正方形面積大.

綜上所得，甲同學設計的方案較好.

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