極值點偏移問題常見的處理方法有⑴構造一元差函式或者。其中為函式的極值點。⑵利用對數平均不等式。。⑶變換主元等方法。
任務一、完成下面問題，總結極值點偏移問題的解決方法。
1．設函式
（1）試討論函式的單調性;
（2）有兩解（）,求證：.
解析：（1）由可知
因為函式的定義域為，所以
1 若時，當時，，函式單調遞減，
當時，，函式單調遞增；
2 若時，當在內恆成立，函式單調遞增；
3 若時，當時，，函式單調遞減，
當時，，函式單調遞增；
（2）要證，只需證，
為增函式。
只需證：，即證（*）
又兩式相減整理得：
，把代入（*）式，即證：
化為：所以為減函式，
綜上得：原不等式得證。
2.設,是函式圖象上不同的兩點,為線段的中點,過點作軸的垂線交曲線於點,試問:曲線在點處的切線是否平行於直線？
解:由題意可得, ,
且,故直線的斜率.
由題意可知曲線在點處的切線的斜率為,因此我們只需判斷直線的斜率與是否相等即可.
又由於,因此.
令函式,則
. 不妨令,則, ,
則由可知在上遞增.
故.從而可得,即直線的斜率與不相等,也即曲線在點處的切線與直線不平行.
任務二、完成下面練習，體驗極值點偏移問題的解決方法在解題中的運用。
3.設函式．
(1)求函式的單調區間；
(2)若方程有兩個不等實根,求證:．
解:(1)由,且可知:
當時, ,此時函式在上單調遞增；
當時,若,則；若,則；此時,函式在上單調遞減；在上單調遞增.
(2)由是方程的兩個不等實根可知:
,. 兩式作差可得
. 故.
由可得.
由可知,因此由,
則由可知在上遞增.
故,從而可知．
4.設函式有兩個零點,且是的等差中項,求證:.
證明:由是函式的兩個零點可知
,, 兩式作差可得
. 故.
由,及可得
. 由可知,因此由,
則由可知在上遞增.
故,從而可知．
5.（2023年高考數學全國ⅰ理科第21題）已知函式有兩個零點．
（ⅰ）求的取值範圍；
（ⅱ）設是的兩個零點，證明：．
解：（ⅰ）函式的定義域為
當時，，得，只有乙個零點，不合題意；
當時，當時，由得，，由得，，由得，，
故，是的極小值點，也是的最小值點，所以
又，故在區間內存在乙個零點，即
由又，所以，在區間
存在唯一零點，即，
故時，存在兩個零點；
當時，由得，，
若，即時，，故在上單調遞增，與題意不符
若，即時，易證故在上只有乙個零點，若，即時，易證
，故在上只有乙個零點
綜上述，
（ⅱ）解法
一、根據函式的單調性證明
由（ⅰ）知，且
令，則因為，所以，所以，所以在內單調遞增,所以，即，所以，所以，因為，在區間內單調遞減，所以，即
解法二、利用對數平均不等式證明
由（ⅰ）知，，又所以，
當時，且，故
當時，，又因為
即 所以
所以所以所以①下面用反證法證明不等式①成立
因為，所以，所以
假設，當，,與①矛盾；
當時,與①矛盾，故假設不成立
所以6.設函式有兩個零點,求證:.
證明:由是函式的兩個零點可得:
,, 兩式相減可得.
兩式相加可得.
故有.由於.
因此只需證明即可.
而 由可知,因此由,
則由可知在上遞增.
故,從而原命題得證.
導數壓軸題第二問通關
一 利用導數證明不等式 1 已知 1 當時，討論函式的零點個數，並說明理由 2 若是的極值點，證明 2 已知函式 當時，求的最小值 當時，證明 不等式在上恆成立 3 已知函式，當時，求函式的單調遞減區間 若時，關於的不等式恆成立，求實數的取值範圍 若數列滿足，記的前項和為，求證 4 已知函式 1 若...
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