一、利用導數證明不等式
1．已知．
（1）當時，討論函式的零點個數，並說明理由；
（2）若是的極值點，證明．
2．已知函式．
（ⅰ）當時，求的最小值；
（ⅱ）當時，證明：不等式在上恆成立．
3．已知函式，
（ⅰ）當時，求函式的單調遞減區間；
（ⅱ）若時，關於的不等式恆成立，求實數的取值範圍；
（ⅲ）若數列滿足， ，記的前項和為，求證： ．
4．已知函式．
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若在上單調遞增，求實數的取值範圍；
（3）當時，求證：對於任意的 ，均有．
5．已知函式且．
（1）求實數的值；
（2）令在上的最小值為，求證： ．
6．已知函式（其中， ）．
（1）當時，求函式在點處的切線方程;
（2）若函式在區間上為增函式，求實數的取值範圍;
（3）求證：對於任意大於1的正整數，都有．
二、利用導數研究不等式恆成立問題
1．設函式 ．若曲線在點處的切線方程為（為自然對數的底數）．
（1）求函式的單調區間；
（2）若關於的不等式恆成立，求實數的取值範圍．
2．已知函式 ．
（1）若，函式的極大值為，求實數的值；
（2）若對任意的， ，在上恆成立，求實數的取值範圍．
3．已知函式 ．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程;
（2）討論函式的單調區間;
（3）求證：若函式在處取得極值，則對恆成立．
4．已知函式．
（ⅰ）若函式在處取得極值，求曲線在點處的切線方程;
（ⅱ）討論函式的單調性;
（ⅲ）設若對恆成立，求的取值範圍．
5．已知函式， ，函式的圖象在點處的切線的斜率為，函式在處取得極小值．
（1）求函式， 的解析式；
（2）已知不等式對任意的恆成立，求實數的取值範圍．
6．已知函式．
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）若不等式對任意的正實數都成立，求實數的最大整數；
（3）當時，若存在實數且，使得，求證： ．
三、利用導數研究能成立問題
1．已知函式．
(1)若函式有乙個極小值點和乙個極大值點，求的取值範圍；
(2)設，若存在，使得當時， 的值域是，求的取值範圍．
2．設函式．
(1)若，求函式在的切線方程；
(2)若函式在上為單調遞減函式，求實數的最小值；
(3)若存在，使得成立，求實數的取值範圍．
3．已知函式 ．
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）是否存在實數，使得至少有乙個，使成立，若存在，求出實數的取值範圍；若不存在，說明理由．
4．函式，其中．
（1）求函式的單調區間；
（2）已知當（其中是自然對數）時，在上至少存在一點，使成立，求的取值範圍；
5．已知 (，且為常數)．
(1)求的單調區間；
(2)若在區間內，存在且時，使不等式成立，求的取值範圍．
6．已知函式在上為增函式，且， ， ， 為自然對數的底數．
（1）求的值；
（2）若在上至少存在乙個，使得成立，求的取值範圍．
四、利用導數研究函式的零點
1．已知函式 ．
（ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；
（ⅱ）若函式有兩個不同零點， ，且，求證： ，其中是的導函式．
2．已知函式．
（1）若在處取極值，求在點處的切線方程；
（2）當時，若有唯一的零點，求
注表示不超過的最大整數，如
參考資料：
3．設a >0，已知函式 (x>0)．
(ⅰ)討論函式的單調性；
(ⅱ)試判斷函式在上是否有兩個零點，並說明理由．
4．已知函式，
（ⅰ）若函式在處的切線方程為，求， 的值；
（ⅱ）若， 求函式的零點的個數．
5．已知函式有兩個不同的零點．
（1）求的取值範圍；
（2）設， 是的兩個零點，證明： ．
6．已知函式，直線是曲線的的一條切線．
（1）求的值；
（2）設函式，證明：函式無零點．
五、利用導數研究方程的根
1．已知：函式．
（）求函式的極值．
（）證明：當時，．
（）當時，方程無解，求的取值範圍．
2．已知．
（1）若方程在上有實數根，求實數的取值範圍；
（2）若在上的最小值為，求實數的值．
3．已知函式（）．
（1）若函式在上單調遞減，求實數的取值範圍；
（2）當時，試問方程是否有實數根？若有，求出所有實數根；若沒有，請說明理由．
4．設函式．
（ⅰ）當時， 恆成立，求範圍；
（ⅱ）方程有唯一實數解，求正數的值．
5．已知函式， ．
（ⅰ）當在處的切線與直線垂直時，方程有兩相異實數根，求的取值範圍；
（ⅱ）若冪函式的圖象關於軸對稱，求使不等式在上恆成立的的取值範圍．
6．已知函式
（1）求函式f(x)是單調區間；
（2）如果關於x的方程有實數根，求實數的取值集合；
（3）是否存在正數k，使得關於x的方程有兩個不相等的實數根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由．
六、利用導數研究函式圖象及性質
1．已知函式．
（1）求函式的圖象在處的切線方程；
（2）若函式在上有兩個不同的零點，求實數的取值範圍；
（3）是否存在實數，使得對任意的，都有函式的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數的值；若不存在，請說理由．
（參考資料： ， ）．
2．已知函式， ．
（1）設，求的最小值；
（2）若曲線與僅有乙個交點，證明：曲線與在點處有相同的切線，且．
．3．已知函式．
(1)若，求函式的極值，並指出是極大值還是極小值；
(2)若，求證：在區間上，函式的影象在函式的影象的下方．
4．已知函式
（1）若直線與曲線都只有兩個交點，證明：這四個交點可以構成乙個平行四邊形，並計算該平行四邊形的面積；
（2）設函式在[1，2]上的值域為，求的最小值．
5．設函式．
（1）若當時，函式的圖象恆在直線上方，求實數的取值範圍；
（2）求證： ．
6．已知函式， ．
（1）當時，求函式的單調增區間；
（2）設函式， ．若函式的最小值是，求的值；
（3）若函式， 的定義域都是，對於函式的圖象上的任意一點，在函式的圖象上都存在一點，使得，其中是自然對數的底數， 為座標原點．求的取值範圍．
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