初中中考壓軸題精選（精品版）第二版（衡水「無憂」學堂出品）
1、（本小題滿分10分）已知拋物線的函式解析式為，若拋物線經過點，方程的兩根為，，且。
（1）求拋物線的頂點座標.
（2）已知實數，請證明：≥,並說明為何值時才會有.
（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位後得到拋物線，設，是上的兩個不同點，且滿足：，，.請你用含有的表示式表示出△的面積，並求出的最小值及取最小值時一次函式的函式解析式。
（參考公式：在平面直角座標系中，若，，則，兩點間的距離為）
【考點】二次函式綜合題．
【專題】壓軸題；配方法．
【分析】（1）求拋物線的頂點座標，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定係數a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數項（由此得到a的值）；然後從方程入手求b的值，題幹給出了兩根差的絕對值，將其進行適當變形**化為兩根和、兩根積的形式），結合根與係數的關係即可求出b的值．
（2），因此將配成完全平方式，然後根據平方的非負性即可得證．
（3）結合（1）的拋物線的解析式以及函式的平移規律，可得出拋物線c2的解析式；在rt△oab中，由勾股定理可確定m、n的關係式，然後用m列出△aob的面積表示式，結合不等式的相關知識可確定△oab的最小面積值以及此時m的值，進而由待定係數法確定一次函式oa的解析式．
【解答】解：（1）∵拋物線過（０,－３）點，∴－3a＝－３
∴a分∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的兩根為x1,x2且＝４
∴＝４且b＜０
∴b分∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４
∴拋物線ｃ１的頂點座標為分
（2）∵x＞０，∴
∴顯然當x＝１時，才有分
（3）方法一：由平移知識易得ｃ２的解析式為：y＝x2分
∴ａ(m，m２)，b（n，n２）
∵δaob為rtδ
∴oa２+ob２=ab２
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２
化簡得：m n分
∵ｓδaob==
∵m n＝－１
∴ｓδaob＝
＝∴ｓδaob的最小值為１，此時m分
∴直線oa的一次函式解析式為ｙ＝x分
方法二：由題意可求拋物線的解析式為： （1分）
∴， 過點、作軸的垂線，垂足分別為、，則
由得即∴ （1分）∴∴
由（2）知：
∴當且僅當，取得最小值1
此時的座標為2分）
∴一次函式的解析式為 （1分）
【點評】該題考查了二次函式解析式的確定、函式圖象的平移、不等式的應用等知識，解題過程中完全平方式的變形被多次提及，應熟練掌握並能靈活應用．
2、如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過a（﹣2，﹣4），o（0，0），b（2，0）三點．
（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若點m是該拋物線對稱軸上的一點，求am+om的最小值．
考點：二次函式綜合題。
解答：解：（1）把a（﹣2，﹣4），o（0，0），b（2，0）三點的座標代入y=ax2+bx+c中，得
解這個方程組，得a=﹣，b=1，c=0
所以解析式為y=﹣x2+x．
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
拋物線的對稱軸為x=1，並且對稱軸垂直平分線段ob
∴om=bm
∴om+am=bm+am
連線ab交直線x=1於m點，則此時om+am最小
過點a作an⊥x軸於點n，
在rt△abn中，ab===4，
因此om+am最小值為．
3、如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形abcd的4個頂點a，b，c，d都在這些平行線上．過點a作af⊥l3於點f，交l2於點h，過點c作ce⊥l2於點e，交l3於點g．
（1）求證：△adf≌△cbe；
（2）求正方形abcd的面積；
（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形abcd的面積s．
考點：全等三角形的判定與性質；平行線之間的距離；正方形的性質。
解答：證明：（1）在rt△afd和rt△ceb中，
∵ad=bc，af=ce，
∴rt△afd≌rt△ceb；
（2）∵∠abh+∠cbe=90°，∠abh+∠bah=90°，
∴∠cbe=∠bah
又∵ab=bc，∠ahb=∠ceb=90°
∴△abh≌△bce，
同理可得，△abh≌△bce≌△cdg≌△daf，
∴s正方形abcd=4s△abh+s正方形hegf
=4××2×1+1×1
=5；（3）由（1）知，△afd≌△ceb，故h1=h3，
由（2）知，△abh≌△bce≌△cdg≌△daf，
∴s正方形abcd=4s△abh+s正方形hegf
=4×（h1+h2）h1+h22=2h12+2h1h2+h22．
4、如圖，在矩形abcd中，對角線bd的垂直平分線mn與ad相交於點m，與bd相交於點n，連線bm，dn．
（1）求證：四邊形bmdn是菱形；
（2）若ab=4，ad=8，求md的長．
5、如圖，在平面直角座標系中，直線y=x+2交x軸於點p，交y軸於點a．拋物線y=x2+bx+c的圖象過點e（﹣1，0），並與直線相交於a、b兩點．
（1）求拋物線的解析式（關係式）；
（2）過點a作ac⊥ab交x軸於點c，求點c的座標；
（3）除點c外，在座標軸上是否存在點m，使得△mab是直角三角形？若存在，請求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
（2）模擬猜想：如圖②，當動點d運動至等邊△abc邊ba的延長線上時，其他作法與（1）相同，猜想af與bd在（1）中的結論是否仍然成立？
（3）深入**：
ⅰ．如圖③，當動點d在等邊△abc邊ba上運動時（點d與點b不重合）連線dc，以dc為邊在bc上方、下方分別作等邊△dcf和等邊△dcf′，連線af、bf′，**af、bf′與ab有何數量關係？並證明你**的結論．
ⅱ．如圖④，當動點d在等邊△邊ba的延長線上運動時，其他作法與圖③相同，ⅰ中的結論是否成立？若不成立，是否有新的結論？並證明你得出的結論．
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