一、教材分析
數學歸納法是解決與正整數有關的一種推理方法，它將乙個無窮歸納過程轉化為乙個有限步驟的演繹過程，是證明與正整數有關問題的有力工具，本節主要是了解數學歸納法的原理，以及解決一些簡單的證明。
二、學情分析
學生在學習本節之前已經學習了歸納推理，以及一些簡單的數學證明方法，並且已經開始使用與正整數有關的結論，可是學生還是停留在認知階段，對問題本質沒有做更進一步研究。但高二學生已具備了探索了發現問題的能力，這為學習數學歸納奠定了基礎。
三、教學目標
1、知識與技能：
了解歸納法的意義，培養學生觀察、歸納、發現的能力。了解數學歸納法的原理，並能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟。抽象思維和概括能力進一步得到提高。
2、過程與方法：
培養學生在觀察的基礎上進行探索、猜想和發現的能力，進而培養學生的創新意識，使他們學會求知。
3、情感、態度與價值觀：
培養學生從特殊到一般、從有限到無限的辯證思想及理論和實踐相結合的原則，使他們學會做事。
四、教學重點、難點
教學重點：歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析及證明步驟．
教學難點：數學歸納法中遞推思想的理解．
五、學法與教法
學法：興趣→觀察→分析歸納→得到猜想結論
教法：引導猜想**式教學方法
六、教學過程設計
（一）知識回顧
1、 數學歸納法定義：
一般地，對於某些與正整數有關的數學命題，我們有數學歸納法公理：
如果（1）當n取第乙個值（例如=1，2等）時結論正確；
（2）假設當n=k ()時結論正確，
證明當n=k+1時也結論也正確。
那麼，命題對於從開始的所有正整數n都成立。
2、用數學歸納法證明命題的步驟為:（板書）
①驗證當n取第乙個值時命題成立,這是推理的基礎;
②假設當n=k時命題成立.在此假設下,證明當時命題也成立是推理的依據.
結論.3、探索性問題在數學歸納法中的思維方式: 觀察,歸納,猜想,推理論證.
4、特別注意：
(1)用數學歸納法證明問題時首先要驗證時成立,注意不一定為1;
(2)在第二步中,關鍵是要正確合理地運用歸納假設,尤其要弄清由k到k+1時命題的變化
（二）應用範圍：
數學歸納法是直接證明的一種重要方法，應用十分廣泛。一般說來，與正整數有關的恒等式、不等式、數的整除性、數列的同項及前n項的和等問題，都可以考慮用數學歸納法推證。
(三）例題講解
分析：（ⅰ）這是乙個探索性的問題，先由特殊情形猜想歸納出8∣．
（ⅱ）在用數學歸納法進行證明的時候問學生第一步應做什麼？本題的應取多少？然後讓學生進行驗證，以得到證明的基礎．學生驗證後，教師規範板書，為學生示範。
啟發學生，認識到在證傳遞性時，已知什麼，求證什麼，啟發學生理解，從而構造利用歸納假設條件。
（ⅲ）啟發學生應用歸納假設（即（ⅱ）中的已知）對上式進行推理變形，讓學生進行推導，直到得到結論．
解 （1）當n=1時，；（讓學生討論，引導發現規律）
當n=2時，；
當n=3時，；
當n=4時，.
（2）猜想：當（規範板書）
①當n=1時，有
②假設當n=k時，命題成立，即f(k)能被8整除，那麼當n=k+1時，有
這裡和均為奇數，它們的和必為偶數，從而能被8整除。又依歸納假設，f(k)能被8整除，所以f(k+1)能被8整除。這就是說，當n=k+1時，命題也成立。
根據（1）和（2），可知命題對任何都成立。
例2、（1）在平面上畫n條直線，且任何兩條直線都相交，其中任何三條直線不共點。問：這n條直線將平面分成多少個部分？（學生思考）
（2）把（1）中命題模擬到空間有什麼結論？（不要求證明）
分析：首先把文字語言轉化為數學語言，首先帶入特殊值觀察分析,進而猜想歸納出，再採用數學歸納法進行證明。
解記n條直線把平面分成個部分，我們通過n=1，2，3，4，5，畫出圖形觀察的情況，
由此猜想接下來用數學歸納法證明這個猜想。（分析思路，關鍵板書利用歸納假設條件之步驟）
（1） 當n=1，2時，結論均成立。
（2） 假設當n=k時，結論成立，即，
當n=k+1時，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個交點，這k個交點將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個部分，所以
，結論也成立。
根據（1）和（2），可知對，均有。
（四）課堂練習
平面內有n個圓，其中每兩個圓都交於兩點，且無三個圓交於一點。
證明：這n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分
（五）課堂小結
1、數學歸納法是一種只適用於與正整數有關的命題的證明方法;
2、用數學歸納法證明命題時,兩個步驟缺一不可,且書寫必須規範;
3、兩個步驟中,第一步是基礎,第二步是依據.在第二步證明中,關鍵是一湊假設,二湊結論（板書）。特別要注意一定要用到歸納假設條件。
（六）作業
七、課堂教學設計說明
數學歸納法是一種用於證明與自然數n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什麼必須是二步呢？於是教師反覆舉例，說明二步缺一不可．你怎麼知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數學歸納法產生過程的教學，把數學歸納法的產生寓於對歸納法的分析、認識當中，把數學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發展創新能力的良機．
數學歸納法產生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎麼辦結束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結束．把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數學歸納法的實質帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含於教學內容中的數學思想的一種嘗試．
在教學方法上，這裡運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在於加強學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智慧型度，教師應做好發動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當的問題，並提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節課的課題作出層次分明的分解，並選擇適當的問題，把課題的研究內容落於問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，並獲得新的發展．本節課的教學設計也想在這方面作些研究．
理解數學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件，而不能簡單的套用函式形式．
八、板書設計
數學歸納法
數學歸納法製作人 徐凱 精講部分 年級 高三科目 數學型別 同步 難易程度 中建議用時 20 25min 一.知識點 1 數學歸納法的定義 一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立 這種證明方法叫做數學歸納法 2 數學...
數學歸納法
最小數原理 已知，則，使得。證明若是有限集，且，那麼中元素可以按小到大的順序排列，取為其中最小的那個元素，則，使得。若為無限集，且，那麼是可列的，因而中元素可以按小到大的順序列出，取為其中最小的那個元素，則，使得。綜上所述，若，則，使得。定理 設a是乙個非空集合，對，命題p n 成立 假如，命題p ...
數學歸納法 整理
數學歸納法 資料 學歸納法證明與遞迴定義法的合法性依據 如何避免乙個表面上的 惡性迴圈 即用歸納法定義自然數，然後由此出發來證明自然數上數學歸納法的可行性?算術理論的形式展開 乙個少年時代的疑問之終結 如何嚴格證明加法與乘法的結合律，交換律與分配律?定律 postulates 轉化為 定理 theo...