第三章等腰三角形
一、知識體系
1、 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形
2、 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形
3、 等腰三角形的性質：
（1） 兩腰相等
（2） 兩底角相等（等邊對等角）
（3） 「三線合一」，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合
4、 等腰三角形的判定：
（1） 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形
（2） 有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）
5、 等邊三角形的性質：三邊都相等，三個角都相等，每乙個角都等於60°
6、 等邊三角形的判定：
（1） 三條邊都相等的三角形是等邊三角形
（2） 三個角都相等的三角形是等邊三角形
（3） 有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
7、 等腰直角三角形的性質：頂角等於90°，底角等於45°，兩直角邊相等
等腰直角三角形的判定：
（1） 頂角為90°的等腰三角形
（2） 底角為45°的等腰三角形
8、含30°角的直角三角形的重要結論：
在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
二、等腰三角形與等邊三角形題型分析
1、等腰三角形的性質應用及判定
【例1】如圖，△abc為等邊三角形，延長bc到d,又延長ba到e，使ae=bd,連線ce,de,
求證：△cde為等腰三角形。
相關練習：如圖，△abc中，d、e分別是ac、ab上的點，bd與ce交於點o.給出下列三個條件：①∠ebo=∠dco；②∠beo=∠cdo；③be=cd。
（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△abc是等腰三角形（用序號寫出所有情形）
（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明△abc是等腰三角形
【例2】如圖，△abc是邊長為1的正三角形，△bdc是頂角為120°的等腰三角形，以d為頂點作乙個60°的∠mdn，點m,n分別在ab,ac上，求△amn的周長。
相關練習：已知乙個等腰三角形兩內角的度數比為1:4，求這個等腰三角形頂角的度數。
【例3】如圖，點o事等邊△abc內一點，∠aob=110°，∠boc=α，將△boc繞點c按順時針方向旋轉60°得△adc,連線od,則△cod是等邊三角形；
(1)當α為多少度時，△aod是等腰三角形？
(2)求證：△cod是等邊三角形
(3)當α=150°時，試判斷△aod的形狀，並說明理由
相關練習：等腰三角形兩邊長分別為4和9，則第三邊長為
2、等邊三角形的性質應用及判定
【例4】如圖，在等邊△abc中，點d,e分別在邊bc,ab上，bd=ae,ad與ce交於點f.
(1)求證：ad=ce;(2)求∠dfc的度數。
相關練習：如圖，分別以rt△abc的直角邊ac,bc為邊，在rt△abc外作兩個等邊三角形△ace和△bcf，連線be,af。求證：be=af 。
【例5】如圖，已知△abc為等邊三角形，d、e、f分別在邊bc、ac、ab上，且△def也是等邊三角形。除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，並證明你的猜想是正確的。
相關練習：如圖，△dac和△ebc均是等邊三角形，ae、bd分別與cd、ce交於點m、n,有如下結論：①△acd≌△dcb; ②cm=cn; ③ac=dn. 其中正確結論的個數是
a.3個 b.2個c.1個d.0個
【例6】右圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a,
則六邊形的周長是
相關練習：如圖，點c**段ab上，在ab的同側作等邊三角形acm和bcn，連線an，bn，若∠mbn=38°，則∠anb的大小等於
【例7】已知，如圖，延長△abc的各邊，使得bf=ac,ae=cd=ab,順次連線d,e,f，得到△def為等邊三角形。求證：（1）△aef≌△cde; (2)△abc為等邊三角形
3、等腰直角三角形的性質應用及判定
【例8】已知，如圖，ab是等腰直角三角形abc的斜邊，ad是∠a的平分線，求證：ac+cd=ab
相關練習：如圖，在rt△abc中，∠b=90°，∠acb=60°，
d是bc延長線上一點，且ac=cd,則bc:cd
【例9】如圖，rt△abc中，ab=ac, ∠a=90°，d為bc上任意一點，且df⊥ab於f,de⊥ac於e,m為bc的中點，試判斷△mef是什麼形狀的三角形，並證明你的結論。
相關練習：兩個全等的含30°，60°的三角板ade和三角板abc，如圖所示放置，e,a,c三點在一條直線上，連線bd,取bd的中點m,連線me,mc,試判斷△emc的形狀，並說明理由。
等腰三角形課後練習題
一、計算題：
1. 如圖，△abc中，ab=ac,bc=bd,ad=de=eb，求∠a的度數。
（提示：設∠abd為x,則∠a為2x由8x=180°得∠a=2x=45°）
2.如圖，ca=cb,df=db,ae=ad。求∠a的度數。
（提示：設∠a為x,由5x=180°得∠a=36°）
3. 如圖，△abc中，ab=ac，d在bc上，de⊥ab於e，df⊥bc交ac於點f，若
∠edf=70°，求∠afd的度數
4. 如圖，△abc中，ab=ac，d在bc上, ∠bad=30°,在ac上取點e，使ae=ad,
求∠edc的度數。
（提示：設∠ade為x，∠edc=∠aed－∠c=15°）
5.如圖，△abc中，∠abc,∠cab的平分線交於點p，過點p作de∥ab，分別交bc、ac於點d、e。求證：de=bd+ae。
（提示：證明△pbd和△pea是等腰三角形）
6.如圖，△def中，∠edf=2∠e，fa⊥de於點a，問：df、ad、ae間有什麼樣的大小關係？（提示：df+ad=ae。在ae上取點b,使ab=ad）
7. 如圖，△abc中，∠b=60°，角平分線ad、ce交於點o，求證：ae+cd=ac。
（提示：在ac上取點f,使af=ae，易證明△aoe≌△aof, 得∠aoe=∠aof， 由∠b=60°，角平分線ad、ce, 得∠aoc=120°所以∠aoe=∠aof=∠cof=∠cod=60°
故△cod≌△cof,得cf=cd，所以ae+cd=ac）
等腰三角形
1 2013新疆 等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為 2 2013年武漢 如圖，abc中，ab ac，a 36 bd是ac邊上的高，則 dbc的度數是 a 18 b 24 c 30 d 36 3 2013四川南充，3，3分 如圖，abc中，ab ac,b 70 則 a的度數是 ...
等腰三角形
11.如圖，已知等邊 abc中，bd ce,ad與be相交於點p，則 ape的度數是 12 在平面直角座標系中，點a的座標是 2,0 點b的座標是 0,3 以ab為邊畫等腰三角形，則另一頂點在座標軸上的有 個.三 解答題 共56分 13.8分 電信部門要修建一座電視訊號發射塔p,按照設計要求,發射塔...
等腰三角形
教學過程 一 知識總結 等腰三角形的兩個底角相等。也就是說，在同乙個三角形中，等邊對等角。等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線和高線互相重合。簡稱等腰三角形三線合一。等腰三角形的性質1 等腰三角形的兩個底角相等。也就是說，在同乙個三角形中，等邊對等角。等腰三角形的性質2 等腰三角形的頂角平分線 底邊...