【回顧與思考】
【例題經典】
根據等腰三角形的性質尋求規律
例1．在△abc中，ab=ac，∠1=∠abc，∠2=∠acb，bd與ce相交於點o，如圖，∠boc的大小與∠a的大小有什麼關係？
若∠1=∠abc，∠2=∠acb，則∠boc與∠a大小關係如何？
若∠1=∠abc，∠2=∠acb，則∠boc與∠a大小關係如何？
【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過程中，
根據等腰三角形的性質，∠1=∠2，∠abd=∠ace，
即可得到∠1=∠abc，∠2=∠acb時，∠boc=90°+∠a；
∠1=∠abc，∠2=∠acb時，∠boc=120°+∠a；
∠1=∠abc，∠2=∠acb時，∠boc=·180°+∠a．
【點評】在例1圖中，若ae=ab，ad=ac．類似上題方法同樣可證得bd=ce．上述規律仍然存在．
會用等腰三角形的判定和性質計算與證明
例2．如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，一腰上的中線bd將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長．
【分析】要分ab+ad=15，cd+bc=6和ab+ad=6，cd+bc=15兩種情況討論．
利用等腰三角形的性質證線段相等
例3．（2023年常德市）如圖，p是等邊三角形abc內的一點，鏈結pa、pb、pc，以bp為邊作∠pbq=60°，且bq=bp，鏈結cq．
（1）觀察並猜想ap與cq之間的大小關係，並證明你的結論．
（2）若pa：pb：pc=3：4：5，鏈結pq，試判斷△pqc的形狀，並說明理由．
【分析】（1）把△abp繞點b順時針旋轉60°即可得到△cbq．利用等邊三角形的性質證△abp≌△cbq，得到ap=cq．（2）連線pq，則△pbq是等邊三角形．pq=pb，ap=cq故cq：pq：pc=pa：
pb：pc=3：4：
5，∴△pqc是直角三角形．
【點評】利用等邊三角形性質、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明．
【考點精練】
一、基礎訓練
1．如圖1，在△abc中，ab=ac，∠a=50°，bd為∠abc的平分線，則∠bdc=_____°．
123）
2．如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_______．
3．如圖3，乙個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角後，得到乙個四邊形，則∠1+∠2=________度．
4．（2023年煙台市）如圖4，在等腰直角△abc中，∠b=90°，將△abc繞頂點a逆時針方向旋轉60°後得到△ab′c′，則∠bac′等於________．
456）
5．（2023年包頭市）如圖5，沿ac方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工．從ac上的一點b取∠abd=135°，bd=520公尺，∠d=45°，如果要使a、c、e成一直線，那麼開挖點e離d的距離約為_______公尺（精確到1公尺）．
6．（2023年諸暨市）等腰△abc的底邊bc=8cm，腰長ab=5cm，一動點p在底邊上從點b開始向點c以0.25cm/秒的速度運動，當點p運動到pa與腰垂直的位置時，點p運動的時間應為________．
7．如圖6，等邊△abc，b點在座標原點，c點的座標為（4，0），點a關於x軸對稱點a′的座標為_______．
8．（2023年江陰市）如圖7，在△abc中，ab=ac，∠bad=20°，且ae=ad，則∠cde
789）
9．（2023年常州市）如圖8，在等腰三角形abc中，ab=ac，∠a=44°，cd⊥ab於d，則∠dcb等於（ ）
a．44° b．68° c．46° d．22°
10．（2023年海南省）如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設計要求，又要節省材料，則在庫存的l1=5.2m，l2=6.2m，l3=7.
8m，l4=10m的四種備用拉線材料中，拉線ac最好選用（ ）
a．l1 b．l2 c．l3 d．l4
11．（2023年日照市）如圖10，在△abc中，ab=ac，d為ac邊上一點，且bd=bc=ad．則∠a等於（ ）
a．30° b．36° c．45° d．72°
1011）
12．（2023年懷化市）同學們都玩過蹺蹺板的遊戲．如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱oc與地面垂直，oa=ob．當蹺蹺板的一頭a著地時，∠oac=25°，則當蹺蹺板的另一頭b著地時，∠aoa′等於（ ）
a．25° b．50° c．60° d．130°
二、能力提公升
13．如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長．
14．已知如圖△abc是等邊三角形，bd是ac邊上的高，延長bc到e使ce=cd．
試判斷db與de之間的大小關係，並說明理由．
15．（2023年揚州市）如圖，△abc中，d、e分別是ac、ab上的點，bd與ce交於點o，給出下列三個條件：①∠ebo=∠dco；②∠beo=∠cdo；③be=cd．
（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△abc是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△abc是等腰三角形．
三、應用與**
16．（2023年江西省）如圖，△abc是等邊三角形，點d、e、f分別是線段ab、bc、ca上的點．
（1）若ad=be=cf，問△def是等邊三角形嗎？試證明你的結論．
（2）若△def是等邊三角形，問ad=be=cf成立嗎？試證明你的結論．
答案：考點精練
1．82.5 2．30a 3．220 4．105°
5．368 6．7秒或25秒 7．（2，-2）
8．10° 9．d 10．b 11．b 12．b
13．7cm或11cm
14．關係：de=db，
∵cd=ce，
∴∠e=∠edc，
又∵∠acb=60°，
∴∠e=30°，
又∵∠dbc=30°，
∴∠e=∠dbc，
∴db=de
15．（1）①③或②③
（2）已知①②求證△abc是等腰三角形．
證：先證△ebo≌△dco．得ob=oc，得∠dbc=∠ecb．
∴∠abc=∠acb．即△abc是等腰三角形
16．（1）△def是等邊三角形，
提示證△adf≌△bed≌△cfe．即得△def是等邊三角形
（2）ad=be=cf成立．證略．
等腰三角形
1 2013新疆 等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為 2 2013年武漢 如圖，abc中，ab ac，a 36 bd是ac邊上的高，則 dbc的度數是 a 18 b 24 c 30 d 36 3 2013四川南充，3，3分 如圖，abc中，ab ac,b 70 則 a的度數是 ...
等腰三角形
11.如圖，已知等邊 abc中，bd ce,ad與be相交於點p，則 ape的度數是 12 在平面直角座標系中，點a的座標是 2,0 點b的座標是 0,3 以ab為邊畫等腰三角形，則另一頂點在座標軸上的有 個.三 解答題 共56分 13.8分 電信部門要修建一座電視訊號發射塔p,按照設計要求,發射塔...
等腰三角形
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