【例1】
1.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△abc的頂點都在格點上，將△abc繞點c順時針旋轉60°，則頂點a所經過的路徑長為
2.如圖，圓心角都是90°的扇形oab與扇形ocd疊放在一起，連線ac、bd.
（1）求證ac=bd;
（2）若圖中陰影部分的面積是,oa=2cm，求oc的長。
3.圓錐的母線長是3cm，底面半徑是1cm，m是底面圓周上一點
則從點m出發繞側面一周再回到m點的最短路線是是
【練1】如圖，已知⊙o的半徑為4，∠a=45°，若乙個圓錐的側面展開圖與扇形obc能完全重合，求該圓錐的底面圓的半徑。
※輔助圓問題
【例2】
1.如圖，已知a、b兩點的座標分別為（8,0）、（0,-6），c的座標為（0,7），點p是座標平面內乙個動點，且pc=5,線段pb與x軸交於點d，則△abd面積的最大值是
2.如圖，已知直線l經過⊙o的圓心o，p是半徑om上一動點，當半徑om繞點o旋轉時，總有點p到點o的距離等於點m到直線l的距離，若om=10cm，則當om繞點o旋轉一周時，點p運動的路徑為
3.如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=6，bc=8，d為ab邊上一點，過點d作cd的垂線交直線bc於點e，則線段ce的最小值是
4.如圖，已知，在△abc中，bc=10，∠bac=60°，以ab、ac為邊向形外作正方形abde和正方形acgf，連線ec、bf,ec與bf交於點p，則ap的最_______值是________.
【練2】
1. 如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=4，bc=3，點d是平面內的乙個動點，且ad=2，m為bd的中點，在d點運動過程中，線段cm長度的取值範圍是
2.如圖，半徑為4的⊙o中，cd為直徑，弦ab⊥cd且過半徑od的中點，點e為⊙o上一動點，cf⊥ae於點f，當點e從點b出發順時針運動到點d時，點f所經過的路徑長為______.
※圓中動點問題
【例3】
1.如圖，已知a、b兩點的座標分別為（-2,0），(0,1)，⊙c的圓心座標為（0，-1），半徑為1，d是⊙c上的乙個動點，射線ad與y軸交於點e，則△abe面積的最大值是
2.在平面直角座標系中，m(3,4)，p是以m為圓心，2為半徑的⊙m上一動點a(-1, 0)，b(1,0)，連線pa、pb，則最大值是________.
3．如圖，a點座標為（-2,1），以a為圓心的⊙a切x軸於點b，p(m，n)為⊙a上的一點動點，試探索m+n的最大值。
【練3】
1.如圖，在矩形abcd中，ab=3，bc=4，o為矩形abcd的中心，以d為圓心，1為半徑作⊙d，p為⊙d上一動點，連ap、op，則△aop面積的最大值為
2.如圖，bc是⊙o的直徑，ab=4，ab=ac，p是直徑bc上一動點，m為ab中點，則△pma的周長m的取值範圍是
【例4】如圖，以o為圓心的兩個同心圓，大圓半徑為5，小圓半徑為，點p為大圓上的一點，pc、pd切小圓於點a、點b，交大圓於c、d兩點，點e為弦cd上任一點，求ae+oe的最小值。
【拓展】已知，⊙o的半徑為，點p到點o的距離為1，過p作兩條成直角的射線，分別交⊙o於a、b兩點，以pa、pb為邊作矩形apbq.（1）求oq的長；（2）求△oaq面積的取值範圍。
【練習】
1.如圖，△abc中，∠bac=60°，∠abc=45°，ab=，d是線段bc上的乙個動點，以ad為直徑作⊙o分別交ab、ac於e、f，連線ef，則線段ef長度的最小值為
2.如圖，已知半徑為2的⊙o與直線l切於點a，點p是直徑ab左側半圓上的動點（不與a、b重合），過點p作直線l的垂線，垂足為c，pc與⊙o交於點d，連線pa、pb，則pd·pc的最大值是
3.如圖，在rt△aob中,oa⊥ob，⊙o與ab相切於點e，ao、bo的延長線交⊙o於c、d，若⊙o的半徑為1，求四邊形abcd的面積最小值。
【例5】如圖，直線與x、y軸分別交於b、a兩點，∠abo=60°，經過a、o兩點的⊙與x軸負半軸交於點c，與直線ab切於點a。
（1）求點c的座標；
（2）過作直線ef∥y軸，在直線ef是是否存在一點d使得△dab的周長最短？若存在，求出點d的座標；若不存在，請說明理由；
（3）點g為弧ecf的中點，點m從點g出發，在⊙時順時針運動，同時點n從f點出發，在⊙逆時針運動，兩點運動速度相同，mn交ef於點p，問的值是否發生變化？若不變求其值；若變化，求變化範圍。
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