第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．命題「若x>1，則lgx>0」的否命題是( )
a．若lgx>0，則x>1 b．若x≤1，則lgx>0
c．若x≤1，則lgx≤0 d．若x<1，則lgx<0
答案 c
2．向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列結論正確的是( )
a．a∥c，b∥cb．a∥b，a⊥c
c．a∥c，a⊥b d．以上都不對
答案 c
3．若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線－＝1的離心率為( )
a. b.
c. d.
答案 b
4．已知a，b∈r，則「lna>lnb」是「()a<()b」的( )
a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
答案 a
5．在正四稜柱abcd－a1b1c1d1中，ab＝2，aa1＝4，e，f分別為稜ab，cd的中點，則三稜錐b1－efd1的體積為( )
a. b.
c. d．16
答案 c
6．若有一動圓與兩定圓o1：x2＋y2＝1和o2：x2＋y2－8x＋12＝0都外切，則動圓的圓心軌跡是( )
a．圓 b．橢圓
c．雙曲線 d．雙曲線的一支
答案 d
7．命題p：「函式y＝ex＋e－x是偶函式」，q：「函式y＝ex＋e－x是增函式」( )
a．p∨q為真 b．p∧q為真
c．綈p為真 d．(綈p)∧(綈q)為真
答案 a
8．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b的夾角余弦值為，則λ等於( )
a．2 b．－2
c．－2或 d．2或－
答案 c
9.如圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，m，n分別為a1b1，cc1的中點，p為ad上一動點，記α為異面直線pm與d1n所成的角，則α的集合是( )
a．{} b．
cd．答案 a
10.如圖，將邊長為1的正方形abcd沿對角線bd折成直二面角，若點p滿足＝－＋，則||2的值為( )
a. b．2
c. d.
答案 d
解析由題可知，||＝1，||＝1，||＝.
<，>＝45°，<，>＝45°，<，>＝60°.
∴||2＝(－＋)2＝2＋2＋2－·＋·－·
＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.
11．已知點f1，f2為橢圓＋y2＝1的焦點，p為橢圓上的點，若△f1pf2的面積為1時，·的值為( )
a．0 b．1
c．3 d．6
答案 a
12.p是二面角α－ab－β稜上的一點，分別在α，β平面上引射線pm，pn，me⊥ab，nf⊥ab，垂足分別為e，f，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那麼二面角α－ab－β的大小為( )
a．60° b．70°
c．80° d．90°
答案 d
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為________．
答案 解析 |b－a|2＝(b－a)2
＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2
＝5(t－)2＋≥.
∴|b－a|的最小值為＝.
14．已知點p是拋物線y2＝ax上一動點，點q和點p關於點(1,1)對稱，則q點的軌跡方程是________．
答案 y2－4y＋ax＋4－2a＝0
15．在空間直角座標系o－xyz中，已知點p(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和點q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直線op與直線oq垂直，則x的值為________．
答案或解析由題意得⊥.∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.
∴2cos2x－cosx＝0.∴cosx＝0或cosx＝.
又x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
16．若方程＋＝1所表示的曲線為c，給出下列四個命題：
①若c為橢圓，則1②若c為雙曲線，則t>4或t<1；
③曲線c不可能是圓；
④若c表示橢圓，且長軸在x軸上，則1其中正確的命題是把所有正確命題的序號都填在橫線上)
答案 ①②
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)在平面直角座標系xoy中，設p(x，y)是橢圓＋y2＝1上的乙個動點，求s＝x＋y的最大值．
解析由s＝x＋y，得y＝s－x，代入＋y2＝1中，得＋(s－x)2＝1，即4x2－6sx＋3s2－3＝0.
由δ＝(6s)2－16·(3s2－3)≥0，
得s2≤4，即－2≤s≤2.
∴s＝x＋y的最大值為2.
18．(12分)已知p：「直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋y2＝1相交．」
q：「mx2－x＋m－4＝0有一正根和一負根．」
若p∨q為真，綈p為真，求m的取值範圍．
解析 ∵p∧q為真，綈p為真，∴p假q真．
由得2x2－2(1＋m)x＋m2＝0.
若p假，則δ＝4(1＋m)2－4×2×m2≤0.
∴m≥1＋或m≤1－.
若q真，則∴0∴p假q真時，1＋≤m<4.
∴m的取值範圍是[1＋，4)．
19.(12分)在四稜錐p－abcd中，pa⊥底面abcd，pb與底面所成的角是30°，∠bad＝90°，ab∥cd，ad＝cd＝a，ab＝2a.若ae⊥pb於e，求證：
de⊥pb.
證明以a為原點，ab，ad，ap所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系．
∵pa⊥平面abcd，
∴∠pba是pb與底面abcd所成的角．
∴∠pba＝30°，∴pa＝a.
∴a(0,0,0)，b(2a,0,0)，d(0，a,0)，p(0,0， a)，
＝(0，a,0)，＝(2a,0，－ a)．
∵·＝(0，a,0)·(2a,0，－ a)＝0，
∴pb⊥ad，又pb⊥ae，且ae∩ad＝a，
∴pb⊥平面ade，∴pb⊥de.
20．(12分)在平面直角座標系xoy中，直線l與拋物線y2＝2x相交於a，b兩點．
(1)求證：「如果直線l過點t(3,0)，那麼·＝3」是真命題；
(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，並說明理由．
解析 (1)令直線l與拋物線兩個交點a，b的座標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．
由於直線l過點t(3,0)，從而有∥，再有＝(x1－3，y)，＝(x2－3，y2)．
可得(x1－3)y2＝(x2－3)y1，即x1y2－x2y1－3y2＋3y1＝0.
由於交點a，b也在拋物線上，得代入上式，
得－－3y2＋3y1＝(y1－y2)(＋3)＝0.
顯然交點a，b的縱座標不可能相等，只有＋3＝0，∴y1y2＝－6.
同時·＝x1x2＋y1y2＝()2＋y1y2＝9－6＝3.
所以命題為真命題．
(2)逆命題為：「如果·＝3，那麼直線l過點t(3,0)」．
由於交點a，b也在拋物線上，得
·＝x1x2＋y1y2＝()2＋y1y2＝3.
可得y1y2＝2或y1y2＝－6.
又＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
若∥，則(x1－3)y2＝(x2－3)y1，即x1y2－x2y1－3y2＋3y1＝0.
而x1y2－x2y1－3y2＋3y1＝－－3y2＋3y1＝(y1－y2)(＋3)．
顯然當y1y2＝－6時使得「直線l過點t(3,0)」．
而當y1y2＝2時「直線l不過點t(3,0)」．
所以該命題是假命題．
21．(12分)
如圖，直四稜柱abcd－a1b1c1d1的高為3，底面是邊長為4且∠dab＝60°的菱形，ac∩bd＝o，a1c1∩b1d1＝o1，e是o1a的中點．
(1)求二面角o1－bc－d的大小；
(2)求點e到平面o1bc的距離．
解析 (1)∵oo1⊥平面abc，
∴oo1⊥oa，oo1⊥ob.
又oa⊥ob，建立如圖所示的空間直角座標系．
∵底面abcd是邊長為4，
∠dab＝60°的菱形，
∴oa＝2，ob＝2.
則a(2，0,0)，b(0,2,0)，c(－2，0,0)，o1(0,0,3)．
∴＝(0,2，－3)，＝(－2，0，－3)．
設平面o1bc的法向量為n1＝(x，y，z)，
則n1⊥，n1⊥.
∴令z＝2，則x＝－，y＝3，∴n1＝(－，3,2)．
而平面ac的乙個法向量為n2＝(0,0,3)，
∴cos＝＝＝.
設二面角o1－bc－d的大小為α.
∴cosα＝，∴α＝60°.
故二面角o1－bc－d的大小為60°.
(2)設點e到平面o1bc的距離為d，
∵e是o1a的中點，∴＝(－，0，)．
則d＝＝＝.
∴點e到平面o1bc的距離為.
22．(12分)已知定點f(1,0)，動點p在y軸上運動，過點p作pm交x軸於點m，並延長mp到點n，且·＝0，||＝||.
(1)求動點n的軌跡方程；
(2)直線l與動點n的軌跡交於a，b兩點，若·＝－4，且4≤||≤4，求直線l的斜率k的取值範圍．
解析 (1)y2＝4x(x>0)．
(2)設l與拋物線交於點a(x1，y1)，b(x2，y2)．
當l與x軸垂直時，則由·＝－4，
得y1＝2，y2＝－2，|ab|＝4<4，不合題意．
故l與x軸不垂直．
可設直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，
則由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4.
由點a，b在拋物線y2＝4x(x>0)上有y＝4x1，y＝4x2，故y1y2＝－8.
又∵聯立消x，得ky2－4y＋4b＝0.
∴＝－8，b＝－2k.
∴δ＝16(1＋2k2)，|ab|2＝(＋32)．
∵4≤|ab|≤4，
∴96≤(＋32)≤480.
解得直線l的斜率取值範圍為[－1，－]∪[，1]．
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