(時間：120分鐘滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．已知sin α＝，則cos 2α的值為( )
abc. d.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，則a·b等於( )
a．－10 b．－6 c．0 d．6
3．設cos(α＋π)＝(π<α<)，那麼sin(2π－α)的值為( )
a. b. cd．－
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan 2α的值為( )
ab. c. d．－
5．下列函式中，最小正週期為π，且圖象關於直線x＝對稱的是( )
a．y＝sin b．y＝sin
c．y＝sin d．y＝sin
6．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin(α＋)等於( )
a．－ b. c．－ d.
7．若向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈r，則|a－b|等於( )
a．－2或0 b．2
c．2或2 d．2或10
8．函式f(x)＝sin2－sin2是( )
a．週期為π的偶函式 b．週期為π的奇函式
c．週期為2π的偶函式 d．週期為2π的奇函式
9．把函式f(x)＝sin的圖象向右平移個單位可以得到函式g(x)的圖象，則g等於( )
ab. c．－1 d．1
10．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin則|a＋b|的取值範圍是( )
a．[0b．[0，)
c．[1,2d．[，2]
11．已知|a|＝2|b|≠0，且關於x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，則a與b的夾角的取值範圍是( )
ab.c. d.
12．函式f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函式，則tan θ等於( )
a. bc. d．－
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，則k
14．已知α為第二象限的角，sin α＝，則tan 2
15．當0≤x≤1時，不等式sin≥kx成立，則實數k的取值範圍是________．
16. 如圖，正六邊形abcdef中，有下列四個命題：
①＋＝2；
②＝2＋2；
③·＝·；
④(·)＝(·)．
其中真命題的序號是寫出所有真命題的序號)
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)已知018．(12分)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
19．(12分)如圖，以ox為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們終邊分別與單位圓相交於p，q兩點，已知點p點的座標為(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
20．(12分)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x， cos x)，函式f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正週期，並求其圖象對稱中心的座標；
(2)當0≤x≤時，求函式f(x)的值域．
21．(12分)已知函式f(x)＝asin(3x＋φ)(a>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝時取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正週期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(α＋)＝，求sin α.
22．(12分)已知a＝(cos ωx，sin ωx)，b＝(2cos ωx＋sin ωx，cos ωx)，x∈r，ω>0，記f(x)＝a·b，且該函式的最小正週期是.
(1)求ω的值；
(2)求函式f(x)的最大值，並且求使f(x)取得最大值的x的集合．
答案1．c [cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝.]
2．a [∵a∥b，∴1×(－4)－2x＝0，x＝－2.∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，
∴a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.]
3．a [∵cos(α＋π)＝－cos α＝，∴cos α＝－，∵π<α<，∴α＝，
∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sinπ＝.]
4．a [tan 2α＝tan
5．b [∵t＝π，∴ω＝＝2，排除c、d.把x＝分別代入a、b，知b選項函式y＝sin(2x－)取到最大值1，故選b.]
6．a [∵cos α＝－，α是第三象限角．∴sin α＝－，∴sin(α＋)＝(sin α＋cos α)＝－.]
7．d [∵a·b＝2x＋3－x2＝0.∴x1＝－1或x2＝當x＝－1時，a－b＝(0，－2)，|a－b|＝2；當x＝3時，a－b＝(－8,6)，則|a－b|＝10.]
8．b [f(x)＝sin2－sin2＝sin2(x＋)－cos2(＋x)＝－cos＝sin 2x.
∴t＝π，且f(－x)＝－f(x)，奇函式．]
9．d [f(x)＝sin(－2x＋)向右平移個單位後，圖象對應函式解析式為f(x－)＝sin[－2(x－)＋]＝sin(－2x＋π)＝sin 2x.∴g(x)＝sin 2x，g()＝sin＝1.]
10．d [|a＋b|＝＝.
∵θ∈[－，]，∴cos θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．]
11．b [δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.
∴cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．∴≤〈a，b〉≤π.]
12．d [f(x)＝2[cos(3x－θ)－sin(3x－θ)]＝2cos(3x－θ＋)．
若f(x)為奇函式，則－θ＋＝kπ＋，k∈z，∴θ＝－kπ－，k∈z.∴tan θ＝－tan(kπ＋)＝－.]
13．0
解析 ∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，(a－c)⊥b，b＝(1,3)，∴(3－k)×1－3＝0，∴k＝0.
14．－
解析由於α為第二象限的角，且sin α＝，
∴cos α＝－.
∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－＝－.
15．k≤1
解析設t＝，0≤x≤1，
則x＝，0≤t≤，
則sin t≥t在0≤t≤上恆成立．
設y＝sin t，y＝t，圖象如圖所示．
需y＝sin t在上的圖象在函式y＝t的圖象的上方，∴·≤1，∴k≤1.
16．①②④
解析在正六邊形abcdef中，＋＝＋＝＝2，①正確；
設正六邊形的中心為o，則2＋2＝2(＋)＝2＝，②正確；
易知向量和在上的投影不相等，即≠.∴·≠·，③不正確；
∵＝－2，
2 (·)·＝－2·
·(＋2)＝0.∵＋2＝－＝0，∴·(＋2)＝0成立．
從而④正確．
17．解 ∴0＝lg(sin x＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)－lg(1＋sin 2x)
＝lg(sin x＋cos x)2－lg(1＋sin 2x)
＝lg(1＋sin 2x)－lg(1＋sin 2x)＝0.
18．解 (1)因為a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，於是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
於是sin＝－.又由0<θ<π知， <2θ＋<，所以2θ＋＝，或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.
19．解 (1)由三角函式定義得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝＝2cos2α＝2·(－)2＝.
(2)∵·＝0，∴α－β＝，
∴β＝α－，
∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝，
cos β＝cos(α－)＝sin α＝.
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin
20．解 (1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正週期為π.
令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，∴x＝＋，k∈z.
故所求對稱中心的座標為(＋，0)，(k∈z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域為[－，1]．
21．解 (1)∵f(x)＝asin(3x＋φ)，∴t＝，
即f(x)的最小正週期為.
(2)∵當x＝時，f(x)有最大值4，∴a＝4.
∴4＝4sin，∴sin＝1.
即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈z)．
∵0<φ<π，∴φ＝.
∴f(x)＝4sin.
(3)∵f＝4sin＝4sin＝4cos 2α.
由f＝，得4cos 2α＝，∴cos 2α＝，
∴sin2α＝(1－cos 2α)＝，
∴sin α＝±.
22．解 (1)f(x)＝a·b＝cos ωx·(2cos ωx＋sin ωx)＋sin ωx·cos ωx
＝2cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＝2·＋sin 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1
＝sin(2ωx＋)＋1.
∴f(x)＝sin(2ωx＋)＋1，其中x∈r，ω>0.
∵函式f(x)的最小正週期是，可得＝，
∴ω＝4.
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