時間120分鐘，滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有乙個是符合題目要求的)
1．已知點f1(－4,0)、f2(4,0)，曲線上的動點p到f1、f2的距離之差為6，則該曲線的方程為( )
a.－＝1(x≥3)
b.－＝1
c.－＝1(y≥3)
d.－＝1
[答案] a
[解析] ∵點p到f1、f2的距離之差是6，而不是距離的差的絕對值是6，
∴點p所在曲線應是雙曲線的右支，由題可知，2a＝6，c＝4，
∴a＝3，c＝4，b2＝c2－a2＝7，
∴該曲線的方程為－＝1(x≥3)，故選a.
2．(2010·四川文，3)拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是( )
a．1 b．2
c．4 d．8
[答案] c
[解析] 本題考查拋物線的焦點到準線的距離．
3．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則k應滿足的條件是( )
a．k>3 b．2c．k＝2d．0[答案] c
[解析] k>0，c＝＝，∴k＝2.
4．f1、f2是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點，p是橢圓上任一點，過一焦點引∠f1pf2的外角平分線的垂線，則垂足q的軌跡為( )
a．圓b．橢圓
c．雙曲線
d．拋物線
[答案] a
[解析] ∵pq平分∠f1pa，且pq⊥af1，
∴q為af1的中點，且|pf1|＝|pa|，
∴|oq|＝|af2|＝(|pa|＋|pf2|)＝a，
∴q點軌跡是以o為圓心，a為半徑的圓．
5．直線y＝x＋3與曲線－＝1( )
a．沒有交點 b．只有乙個交點
c．有兩個交點 d．有三個交點
[答案] d
[解析] 當x>0時，雙曲線－＝1的漸近線為：y＝±x，而直線y＝x＋3斜率為1,1<
∴y＝x＋3與雙曲線的右支有一交點
又∵直線y＝x＋3過橢圓頂點k＝1>0
∴直線y＝x＋3與橢圓左半部分有兩交點，共計3個交點，選d.
6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)與雙曲線－＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率是( )
ab.cd.
[答案] d
[解析] 由題意可得
解得＝，∴e＝＝.
7．與拋物線x2＝4y關於直線x＋y＝0對稱的拋物線的焦點座標是( )
a．(1,0b．(，0)
c．(－1,0d．(0，－)
[答案] c
[解析] x2＝4y關於x＋y＝0，對稱的曲線為y2＝－4x，其焦點為(－1,0)．
8．已知直線l交橢圓4x2＋5y2＝80於m、n兩點，橢圓與y軸的正半軸交於b點，若△bmn的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線l的方程是( )
a．4x＋6y－28＝0
b．5x－6y－28＝0
c．6x＋5y－28＝0
d．6x－5y－28＝0
[答案] d
[解析] 橢圓方程為＋＝1，
設m(x1，y1)、n(x2，y2)
則＋＝1，①
＋＝1②
兩式相減得＋＝0
∴kl＝－.
mn的中點座標為(，)，
∵△mbn的重心為(2,0)，
∴∴∴kl＝.mn的中點座標為(3，－2)，
∴l的方程為y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.
9．已知橢圓的中心在原點，離心率e＝，且它的乙個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋y2＝1d.＋y2＝1
[答案] a
[解析] ∵拋物線焦點為(－1,0)，∴c＝1，
又橢圓的離心率e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，
∴橢圓的方程為＋＝1，故選a.
10．過點c(4,0)的直線與雙曲線－＝1的右支交於a、b兩點，則直線ab的斜率k的取值範圍是( )
a．|k|≥1b．|k|>
c．|kd．|k|<1
[答案] b
[解析] 如圖所示，l1平行於y＝x，l2平行於y＝－x，由圖可看出，當過c由l1位置逆時針方向轉到l2位置之間的直線與雙曲線－＝1的右支都有兩個交點，此時k>或k<－.
11．(2010·福建文，11)若點o和點f分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點p為橢圓上的任意一點，則·的最大值為( )
a．2 b．3
c．6 d．8
[答案] c
[解析] 本題主要考查橢圓和向量等知識．
由題易知f(－1,0)，設p(x，y)，其－2≤x≤2，則
·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2
＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2
當x＝2時，(·)max＝6.
12．b地在a地的正東方向4km處，c地在b地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸pq(曲線)上任意一點到a的距離比到b的距離遠2km，現要在曲線pq上選一處m建一座碼頭， 向b、c兩地運轉貨物．經測算，從m到b、c兩地修建公路的費用都是a萬元/km，那麼修建這兩條公路的總費用最低是( )
a．(＋1)a萬元
b．(2－2)a萬元
c．2a萬元
d．(－1)a萬元
[答案] b
[解析] 設總費用為y萬元，則y＝a·(mb＋mc)
∵河流的沿岸pq(曲線)上任意一點到a的距離比到b的距離遠2km，
∴曲線pq是雙曲線的一支，b為焦點，且a＝1，c＝2.
由雙曲線定義，得ma－mb＝2a，即mb＝ma－2，
∴y＝a·(ma＋mc－2)≥a·(ac－2)．
以直線ab為x軸，中點為座標原點，建立直角座標系，則a(－2,0)，c(3，)．
∴ac＝＝2，
故y≥(2－2)a(萬元)．
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．雙曲線－＝1上一點p到它的乙個焦點的距離為12，則點p到另乙個焦點的距離為
[答案] 2或22
14．直線y＝kx＋1(k∈r)與橢圓＋＝1恒有公共點，則m的取值範圍為________．
[答案] m≥1
[解析] 將y＝kx＋1代入橢圓方程，消去y並整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.
由m>0,5k2≥0，知m＋5k2>0，故
△＝100k2－4(m＋4k2)(5－5m)≥0對k∈r恆成立．
即5k2≥1－m時，對k∈r恆成立，故
1－m≤0，∴m≥1.
[點評] 一般地說，如果點p(x0，y0)滿足＋<1，則點p在橢圓＋＝1的內部，由於直線y＝kx＋1過定點a(0,1)，故要使直線y＝kx＋1與橢圓恒有公共點，只須a在橢圓上或其內部，即＋≤1，∴m≥1.
15．(2010·重慶文，13)已知過拋物線y2＝4x的焦點f的直線交該拋物線於a、b兩點，|af|＝2，則|bf|＝____.
[答案] 2
[解析] 本題考查拋物線的定義．
設a點(x1，y1)，b點(x2，y2)
拋物線y2＝4x，焦點為(1，c)，準線為x＝－1.
|af|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
則af與x軸垂直，|bf|＝|af|＝2.
16．已知雙曲線的兩個焦點為f1(－，0)、f2(，0)，p是此雙曲線上的一點，且pf1⊥pf2，|pf1|·|pf2|＝2，則該雙曲線的方程是________．
[答案] －y2＝1
[解析] 由pf1⊥pf2，有|pf1|2＋|pf2|2＝|f1f2|2(|pf1|－|pf2|)2＋2|pf1|·|pf2|＝|f1f2|2，
由已知，||pf1|－|pf2||＝2a，|f1f2|＝2c＝2，|pf1|·|pf2|＝2(2a2)＋2×2＝(2)2a2＝4b2＝c2－a2＝5－4＝1.則雙曲線方程為－y2＝1
三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1的乙個焦點，並且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交點為p(，)，求拋物線方程和雙曲線方程．
[解析] 依題意，設拋物線方程為y2＝2px，(p>0)，
∵點(，)在拋物線上，
∴6＝2p×，
∴p＝2，∴所求拋物線方程為y2＝4x.
∵雙曲線左焦點在拋物線的準線x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又點(，)在雙曲線上，
∴－＝1，
由解得：a2＝，b2＝.
∴所求雙曲線方程為 4x2－y2＝1.
18．(本小題滿分12分)已知雙曲線與橢圓＋＝1有公共焦點f1、f2，它們的離心率之和為2，
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設p是雙曲線與橢圓的乙個交點，求cos∠f1pf2的值．
[解析] (1)在橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝9
∴c＝＝4，焦點在y軸上，離心率為e＝
由題意得：所求雙曲線的半焦距c＝4，
離心率e′＝2－＝2，
又∵e′＝＝＝2
∴雙曲線的實半軸為a′＝2，
則b′2＝c2－a′2＝16－4＝12，
∴所求雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)由雙曲線、橢圓的對稱性可知，不論點p在哪乙個象限，cos∠f1pf2的值是相同的，設點p是雙曲線的與橢圓在第一象限的交點，其中|pf1|>|pf2|
由定義可知|pf1|＋|pf2|＝10①
|pf1|－|pf2|＝4②
由①、②得|pf1|＝7，|pf2|＝3
又∵|f1f2|＝8，在△f1pf2中，由餘弦定理得
cos∠f1pf2＝
＝＝－，
∴cos∠f1pf2的值為－.
19．(本小題滿分12分)已知橢圓長軸|a1a2|＝6，焦距|f1f2|＝4，過橢圓的左焦點f1作直線交橢圓於m、n兩點，設∠f2f1m＝α(0≤α≤π)，問α取何值時，|mn|等於橢圓的短軸的長．
[解析] 如圖所示，a＝3，c＝2，b＝1，
∴橢圓方程為＋y2＝1.
設過f1的直線方程為
y＝k(x＋2)．
∴①代入②，整理得(1＋9k2)x2＋36k2x＋72k2－9＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝.
代入|mn|＝，
整理得|mn|＝.
∵＝2，∴k＝±.
即tanα＝±，∴α＝或α＝.
20．(本小題滿分12分)炮彈在某處**，在f1(－5000,0)處聽到**聲的時間比在f2(5000,0)處晚秒．已知座標軸的單位長度為1公尺，聲速為340公尺/秒，**點應在什麼樣的曲線上？並求**點所在的曲線方程．
數學選修2 1高二數學周練二
高二數學 理科 周練 班級 座號 姓名成績 一 選擇題 每小題8分，共80分 1 設定點，動點滿足條件 則動點的軌跡是 a.橢圓 b.線段 c.不存在 d.橢圓或線段或不存在 2 下列說法正確的是 a 是 函式是奇函式 的充要條件 b 向量，若，則 是真命題 c 的否定是 d 若，則 的否命題是 若...
教師 高二數學必修2第二章2 1知識點總結
必修2第二章知識點 2.1 空間點 直線 平面的位置關係 2.1.1平面 1.平面 平面的概念 a.描述性說明 抽象性 b.平面是無限伸展的 書桌面是平面 yes or no p47 1 平面的表示 如平面 通常寫在乙個銳角內 平面abcd 平面ac或bd。點與平面的關係 點a在平面內，記作 點不在...
數學第二章
姓名班級考號 一 選擇題 每空？分，共？分 1 已知函式 a 1 b c d 2 在下列四組函式中，與表示同一函式是 a b c d 3 函式的定義域是 a b cd 4 四個函式中，在區間，上是減函式的是 5 若函式的影象恆過定點，則定點的座標為 a b c d 6 若，則下列結論正確的是 a b...