高二數學（理科）周練
班級______ 座號______ 姓名成績_________
一、選擇題：每小題8分，共80分
1．設定點，，動點滿足條件＞，則動點的軌跡是（ ）.
a. 橢圓 b. 線段 c. 不存在 d.橢圓或線段或不存在
2．下列說法正確的是( )
a．是「函式是奇函式」的充要條件
b．「向量，若，則」是真命題
c．的否定是
d．「若，則」的否命題是「若，則」
3．等差數列中，則( )
a． b． c． d．
4． 若直線過點（1,0）與雙曲線只有乙個公共點，則這樣的直線有 ( )
a．4條 b．3條c． 2條 d．1條
5．與橢圓共焦點，且過點（－2，）的雙曲線方程為（ ）
（a）（b） （c） （d）
6．已知是曲線上的動點，則的最大值為( )
abcd.
7．已知橢圓x2sinα－y2cosα=1（0＜α＜2π）的焦點在x軸上，則α的取值範圍是（ ）
（a）（，π）（b）（， ）（c）（，π）（d）（， ）
8．如圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，p是側面bb1c1c內一動點，若p到直線bc與直線c1d1的距離相等，則動點p的軌跡所在的曲線是（ ）.
a.直線 b. 拋物線 c.雙曲線 d. 圓
二、填空題: 每小題8分，共32分
9．已知雙曲線的漸近線方程為y=±，則此雙曲線的離心率為
10．在等差數列中,，其前項的和為,若,
則.11．已知x＞－1，y＞0且滿足x＋2y＝1，則的最小值為
12.在中，已知，若分別是角所對的邊，則的最小值為__ ▲ _．
三、解答題:12+12+14=38(分)
13．（本小題滿分12分）
已知定點，動點（異於原點）在軸上運動，連線pf，過點作交軸於點，並延長到點，且，.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）若直線與動點的軌跡交於、兩點，若且，求直線的斜率的取值範圍．
14. （本小題滿分12分）
如圖所示，在三稜柱中，平面，,，，是稜的中點．
（ⅰ）證明： 平面；
（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
15. （本小題滿分14分）如圖，橢圓的中心為原點o，長軸在x軸上，離心率e＝，過左焦點f1作x軸的垂線交橢圓於a，a′兩點，|aa′|＝4.
(1)求該橢圓的標準方程；
(2)取平行於y軸的直線與橢圓相交於不同的兩點p，p′，過p，p′作圓心為q的圓，使橢圓上的其餘點均在圓q外．求△pp′q的面積s的最大值，並寫出對應的圓q 的標準方程．
長汀一中高二數學（理科）周練答案2014.12.20
1.【解析】本題考查橢圓的定義，由得；
由橢圓定義知：當時，其軌跡為中心在原點，焦點在軸的橢圓；
當時，其軌跡為線段；
當時，其軌跡不存在
即軌跡為橢圓或線段或不存在
故正確答案為d
2.【解析】試題分析：對於a：
顯然錯誤，例如=是奇函式，但當x=0時無意義；對於b：由於向量的數量積的消去律不成立，所以錯誤；對於c：顯然錯誤，的否定應是；排除a，b，c，故選d．
考點：命題真假的判斷．
3.【解析】試題分析： ，故選b．
考點：1.等差數列的性質；2.對數與指數的運算性質.
4.【解析】考點：雙曲線的性質.
試題分析：由條件可得：雙曲線的漸近線方程為，又因為直線過點（1,0）且與雙曲線只有乙個交點，所以直線與雙曲線的漸近線平行或過點（1,0）與x軸垂直，所以這樣的直線有3條. 故選d．
5.【解析】由橢圓焦點為f（0，±3），設與橢圓共焦點的雙曲線設為=1，再由雙曲線過點（-2，），能求出雙曲線方程．
解答：∵橢圓焦點為f（0，±3），
∴與橢圓共焦點的雙曲線設為
∵雙曲線過點（-2，），∴=1，
整理，得a4-23a2+90=0，
解得a2=5，或a2=18（舍）．
∴雙曲線方程為故選a．
6.【解析】試題分析：由，得代入橢圓的方程得，整理得，由於直線與橢圓有交點，因此，解得，因此故選a
考點：直線與橢圓位置關係應用.
7.【解析】本題考查橢圓的幾何性質.
由得因為表示焦點在軸上的橢圓，所以
即，則角必為第二象限角，即
由得，即
所以所以所以因
所以.故正確答案為a
8.【解析】由線c1d1垂直平面bb1c1c，分析出|pc1|就是點p到直線c1d1的距離，則動點p滿足拋物線定義，問題解決．
解：由題意知，直線c1d1⊥平面bb1c1c，則c1d1⊥pc1，即|pc1|就是點p到直線c1d1的距離，
那麼點p到直線bc的距離等於它到點c的距離，所以點p的軌跡是拋物線．故選b．
9.【解析】此題考查雙曲線的離心率,因為雙曲線的漸近線方程為，所以或，故.所以離心率.
10.【解析】設公差是，由，得，，
考點：考查等差數列前項和公式。
11.【答案】【解析】因為x＋2y＝1，所以（x＋1）＋2y＝2
則＝[（x＋1）＋2y]＝
≥（5＋4）＝（當且僅當且x＋2y＝1，即x＝－，y＝時等號成立）
考點：基本不等式，均值定理
12.【知識點】正弦定理、餘弦定理、基本不等式
解析：解：因為，由正弦定理及餘弦定理得，整理得，所以，當且僅當a=b時等號成立.即的最小值為.
【思路點撥】因為尋求的是邊的關係，因此可分別利用正弦定理和餘弦定理把角的正弦和余弦化成邊的關係，再利用基本不等式求最小值.
13． (1)設動點的的座標為，則，
，由得，，
因此，動點的軌跡的方程為. …………5分
(2)設直線的方程為，與拋物線交於點，則，得，又，故.
又，∴，，∴即
解得直線的斜率的取值範圍是12分
14.【解】：（ⅰ）∵，∴．
∵三稜柱中平面∴．
∵，∴平面．
以為座標原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角座標系．
易求得，，，，，，．
（ⅰ），，，
∵，，∴，，即，．
∵，∴ 平面
（ⅱ）設是平面的法向量，由得
取，則是平面的乙個法向量
又是平面的乙個法向量，
．即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
15.解：(1)設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由題意知點a(－c,2)在橢圓上，則＋＝1.
從而e2＋＝1.由e＝，得b2＝＝8，從而a2＝＝16.故該橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)由橢圓的對稱性，可設q(x0,0)．
又設m(x，y)是橢圓上任意一點，則|qm|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8×＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．
設p(x1，y1)，由題意知，點p是橢圓上到點q的距離最小的點，因此，上式當x＝x1時取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當x＝2x0時取最小值，從而x1＝2x0，且|qp|2＝8－x.
由對稱性知p′(x1，－y1)，故|pp′|＝|2y1|，所以
s＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝×
＝×當x0＝±時，△pp′q的面積s取到最大值2.
此時對應的圓q的圓心座標為q(±，0)，半徑|qp|＝＝，
因此，這樣的圓有兩個，其標準方程分別為(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
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