2．2橢__圓
2．2.1 橢圓的標準方程
在平面直角座標系中，已知a(－2,0)，b(2,0)，c(0,2)，d(0，－2)．
問題1：若動點p滿足pa＋pb＝6，設p的座標為(x，y)，則x，y滿足的關係式是什麼？
提示：由兩點間距離公式得
＋＝6，
化簡得＋＝1.
問題2：若動點p滿足pc＋pd＝6，設p的座標為(x，y)，則x、y滿足什麼關係？
提示：由兩點間距離公式得
＋＝6，
化簡得＋＝1.
橢圓的標準方程
1．標準方程中的兩個引數a和b，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件．a，b，c三者之間a最大，b，c大小不確定，且滿足a2＝b2＋c2.
2．兩種形式的標準方程具有共同的特徵：方程右邊為1，左邊是兩個非負分式的和，並且分母為不相等的正值．當橢圓焦點在x軸上時，含x項的分母大；當橢圓焦點在y軸上時，含y項的分母大，已知橢圓的方程解題時，應特別注意a>b>0這個條件．
[例1] 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過兩點(2，－)，；
(2)過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同的焦點．
[思路點撥] (1)由於橢圓焦點的位置不確定，故可分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況進行討論．也可利用橢圓的一般方程ax2＋by2＝1(其中a>0，b>0，a≠b)，直接求a，b.(2)求出焦點，然後設出相應方程，將點(，－)代入，即可求出a，b，則標準方程易得．
[精解詳析] (1)法一：若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為
＋＝1(a>b>0)．
由已知條件得解得
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
由已知條件得解得
即a2＝4，b2＝8，則a2b>0矛盾，捨去．
綜上，所求橢圓的標準方程為＋＝1.
法二：設橢圓的一般方程為ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b)．將兩點(2，－)，代入，
得解得所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)因為所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同，
所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.
設它的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又點(，－)在橢圓上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
[一點通] 求橢圓標準方程的一般步驟為：
1．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)兩個焦點的座標分別為(－4,0)，(4,0)，且橢圓經過點(5,0)；
(2)經過兩點p，q.
解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.
b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求橢圓方程為＋＝1.
(2)設橢圓方程為ax2＋by2＝1.(a>0，b>0，a≠b)
由已知得，
解得：故所求橢圓方程為＋＝1.
2．求適合下列條件的橢圓的方程．
(1)焦點在x軸上，且經過點(2,0)和點(0,1)；
(2)焦點在y軸上，與y軸的乙個交點為p(0，－10)，p到它較近的乙個焦點的距離等於2.
解：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，
所以可設它的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
∵橢圓經過點(2,0)和(0,1)，
∴∴故所求橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
∵p(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.
又∵p到它較近的乙個焦點的距離等於2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求橢圓的標準方程是＋＝1.
[例2] 已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示橢圓．
(1)若橢圓的焦點在x軸上，求α的取值範圍．
(2)若橢圓的焦點在y軸上，求α的取值範圍．
[思路點撥] (1)已知的方程不是橢圓的標準形式，應先化成標準方程．
(2)對於橢圓方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小確定橢圓焦點的位置，列出三角不等式後求α的範圍．
[精解詳析] 將橢圓方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)化為標準形式為＋＝1(0≤α≤2π)．
(1)若方程表示焦點在x軸上的橢圓，
則》－>0，即
所以π<α<π.即α的取值範圍是.
(2)若方程表示焦點在y軸上的橢圓，
則－>>0，即
所以<α<.即α的取值範圍是.
[一點通] 對於討論橢圓方程中引數的取值範圍問題，一般的解題方法是根據題設條件給出的焦點位置，結合對應的標準方程應滿足的條件，建立乙個含引數的不等式組，通過求解不等式組得到引數的取值範圍．
3．如果方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值範圍是________．
解析：由於橢圓的焦點在x軸上，所以即解得a>3或－6答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)
4．已知方程＋＝－1表示橢圓，求k的取值範圍．
解：方程＋＝－1可化為＋＝1，由橢圓的標準方程可得
得3所以滿足條件的k的取值範圍是{k|3[例3] 如圖所示，已知橢圓的方程為＋＝1，若點p在第二象限，且∠pf1f2＝120°，求△pf1f2的面積．
[思路點撥] 根據橢圓的標準方程知pf1＋pf2＝4，結合面積公式和餘弦定理找到pf1和pf2的關係求解．
[精解詳析] 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
f1f2＝2c＝2，在△pf1f2中，
由餘弦定理，得
pf＝pf＋f1f－2pf1·f1f2cos 120°，
即pf＝pf＋4＋2pf1.①
由橢圓定義，得pf1＋pf2＝4，
即pf2＝4－pf1.②
②代入①解得pf1＝.
∴s△pf1f2＝pf1·f1f2·sin 120°
＝××2×＝，
即△pf1f2的面積是.
[一點通] 在橢圓中，由三條線段pf1，pf2，f1f2圍成的三角形稱為橢圓的焦點三角形．涉及橢圓的焦點三角形問題，可結合橢圓的定義列出pf1＋pf2＝2a，利用這個關係式便可求出結果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法．
5．已知兩定點f1(－1,0)、f2(1,0)，且f1f2是pf1與pf2的等差中項，則動點p的軌跡方程是________．
解析：∵f1(－1,0)，f2(1,0)，∴f1f2＝2.
∵f1f2是pf1與pf2的等差中項，
∴2f1f2＝pf1＋pf2，
即pf1＋pf2＝4，
∴點p在以f1，f2為焦點的橢圓上，
∵2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3.
∴橢圓的方程是＋＝1.
答案：＋＝1
6．設f1，f2是橢圓＋＝1的兩個焦點，p是橢圓上的點，且pf1∶pf2＝2∶1，則△f1pf2的面積等於________．
解析：由＋＝1，得a＝3，b＝2，
∴c2＝a2－b2＝5.∴c＝.∴f1f2＝2.
由得∴pf＋pf＝f1f.
∴△f1pf2為直角三角形．
∴s△f1pf2＝pf1·pf2＝4.
答案：4
7．如圖，已知f1，f2是橢圓＋＝1的兩個焦點．
(1)若橢圓上一點p到焦點f1的距離等於15，那麼點p到另乙個焦點f2的距離是多少？
(2)過f1作直線與橢圓交於a，b兩點，試求△abf2的周長．
解：由橢圓的標準方程可知a2＝100，所以a＝10.
(1)由橢圓的定義得pf1＋pf2＝2a＝20，又pf1＝15，所以pf2＝20－15＝5，即點p到焦點f2的距離為5.
(2)△abf2的周長為ab＋af2＋bf2＝(af1＋bf1)＋af2＋bf2＝(af1＋af2)＋(bf1＋bf2)．
由橢圓的定義可知af1＋af2＝2a，bf1＋bf2＝2a，故ab＋af2＋bf2＝4a＝40.
高二數學橢圓及其標準方程
教學目標 1 掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程 2 能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定係數法求橢圓的標準方程 3 通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力 4 通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，並滲透數形結合和等價轉化的思想方...
高二數學選修1 1《2 1 1橢圓及其標準方程》學案 第2課時
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橢圓的標準方程
學習目標 1.了解橢圓的實際背景，經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，橢圓標準方程的推導與化簡過程.2.掌握橢圓的定義 標準方程及幾何圖形 學習重難點 橢圓的標準方程及其求法 使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材選修2 1的p39 p42，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完...