選修4-4《座標系與引數方程》複習講義
一、選考內容《座標系與引數方程》高考考試大綱要求：
1．座標系: ① 理解座標系的作用.
② 能在極座標系中用極座標表示點的位置，能進行極座標和直角座標的互化.
③ 能在極座標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程.
2．引數方程：① 了解引數方程，及引數的意義. ② 能寫出直線、圓和圓錐曲線的引數方程.
二、基礎知識歸納總結：
1.極座標系的概念
2．點m的極座標
注： 極座標與表示同乙個點。極點o的座標為.
3．極座標與直角座標的互化
4。圓的極座標方程：
①在極座標系中，以極點為圓心，r為半徑的圓的極座標方程是；
②在極座標系中，以(a>0)為圓心， a為半徑的圓的極座標方程是；
③在極座標系中，以(a>0)為圓心，a為半徑的圓的極座標方程是；
5.在極座標系中，表示以極點為起點的一條射線；表示過極點的一條直線.在極座標系中，過點，且垂直於極軸的直線l的極座標方程是.
6．引數方程的概念：在平面直角座標系中，如果曲線上任意一點的座標x,y都是某個變數t的函式這個方程就叫做這條曲線的引數方程， t 叫做參變數，簡稱引數。
7．經過點，傾斜角為的直線l的引數方程為（t為引數）。
圓的引數方程可表示為.
橢圓(a>b>0)的引數方程可表示為.
三、基礎訓練：
1．在極座標系中，過點，並且和極軸平行的直線的極座標方程是
2．在極座標系中，圓心在，半徑為1的圓的極座標方程是
3. 直角座標方程化為極座標方程是
4. 極座標方程化為直角座標方程是
5. 在極座標系中，極點到直線的距離是
6．極座標系內，曲線上的動點p與定點的最近距離等於
7.引數方程化為普通方程是
8.曲線上的點與定點a（-1，-1）距離的最小值是
四、高考中的《座標系與引數方程》例題樣題選編：
1．（江蘇省南通市2008-2009）
求直線（t為引數）被圓（α為引數）截得的弦長．
解：把直線方程化為普通方程為．將圓化為普通方程為．圓心o到直線的距離，弦長．
所以直線被圓截得的弦長為．
2．（08海南、寧夏理）已知曲線c1：（為引數），
曲線c2：
（ⅰ）指出c1，c2各是什麼曲線，並說明c1與c2公共點的個數；
（ⅱ）若把c1，c2上各點的縱座標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的引數方程．與公共點的個數和c公共點的個數是否相同？說明你的理由．
解：（ⅰ）是圓，是直線．的普通方程為，圓心，半徑．
的普通方程為．因為圓心到直線的距離為，
所以與只有乙個公共點．
（ⅱ）壓縮後的引數方程分別為：（為引數）；
：（t為引數）．化為普通方程為：：，：，
聯立消元得，其判別式，所以壓縮後的直線與橢圓仍然只有乙個公共點，和與公共點個數相同．
2．極座標方程與引數方程混合
1．（2008南通四縣市）已知曲線c的極座標方程是．以極點為平面直角座標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角座標系，直線l的引數方程是：，求直線l與曲線c相交所成的弦的弦長．
解：曲線c的極座標方程是化為直角座標方程為，
即，直線l的引數方程，化為普通方程為x－y－1=0，
曲線c的圓心（2，0）到直線l的距離為，所以直線l與曲線c相交所成的弦的弦長=．
2．（淮安、徐州、宿遷、連雲港四市2008—2009）已知在直角座標系x0y內，直線l的引數方程為 (t為引數)．以ox為極軸建立極座標系，圓c的極座標方程為.
(1)寫出直線l的普通方程和圓c的直角座標方程；
(2)判斷直線l和圓c的位置關係.
解：（1）消去引數，得直線的直角座標方程為； ,即，兩邊同乘以得，消去引數，得⊙的直角座標方程為：
（2）圓心到直線的距離，所以直線和⊙相交．
3．（2023年高考福建卷理科21）
在直角座標系xoy中，直線的引數方程為（t為引數）。在極座標系（與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓c的方程為。
（ⅰ）求圓c的直角座標方程；
（ⅱ）設圓c與直線交於點a、b，若點p的座標為，求|pa|+|pb|。
【解析】（ⅰ）由得即
（ⅱ）將的引數方程代入圓c的直角座標方程，得，
即由於，故可設是上述方程的兩實根，
所以故由上式及t的幾何意義得：
|pa|+|pb|==。
4．（2023年高考江蘇卷試題21）
在極座標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數a的值。
解：，圓ρ=2cosθ的普通方程為：，
直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：，
又圓與直線相切，所以解得：，或。
5. (2023年全國高考寧夏卷23）
已知直線c1（t為引數），c2（為引數），
求當=時，求c1與c2的交點座標；
解：（ⅰ）當時，的普通方程為，的普通方程為。聯立方程組 ，解得與的交點為（1,0）。
五選修4—4:座標系與引數方程複習題
1、（2023年高考課標ⅰ卷（文））
已知曲線的引數方程為(為引數),以座標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極座標系,曲線的極座標方程為.
(ⅰ)把的引數方程化為極座標方程;
(ⅱ)求與交點的極座標().
2．（2023年高考課標ⅱ卷（文））
已知動點都在曲線為引數上,對應引數分別為與,為的中點.
(ⅰ)求的軌跡的引數方程;
(ⅱ)將到座標原點的距離表示為的函式,並判斷的軌跡是否過座標原點.
3．（2023年高考遼寧卷（文））
在直角座標系中以為極點,軸正半軸為極軸建立座標系.圓,直線的極座標方程分別為.
()求與交點的極座標;
()設為的圓心,為與交點連線的中點.已知直線的引數方程為
,求的值.
4. （2023年高考江蘇卷21）
在極座標中，已知圓c經過點，圓心為直線與極軸的交點，求圓c的極座標方程．
5. (2023年高考福建卷理科21)
在平面直角座標系中，以座標原點為幾點，軸的正半軸為極軸建立極座標系。已知直線上兩點的極座標分別為，圓的引數方程為引數）。
（ⅰ）設為線段的中點，求直線的平面直角座標方程；
（ⅱ）判斷直線與圓的位置關係。
6.(2023年高考遼寧卷理科23)
在直角座標中，圓，圓。
(ⅰ)在以o為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，分別寫出圓的極座標方程，並求出圓的交點座標(用極座標表示)；
(ⅱ)求出的公共弦的引數方程.
7.(2023年高考新課標全國卷理科23)
已知曲線的引數方程是，以座標原點為極點，軸的正半軸
為極軸建立座標系，曲線的座標系方程是，正方形的頂點都在上，
且依逆時針次序排列，點的極座標為21世紀教育網
（1）求點的直角座標；
（2）設為上任意一點，求的取值範圍。
8、（2011 福建）在直接座標系中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線c的引數方程為.
（i）已知在極座標（與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點p的極座標為（4，），判斷點p與直線l的位置關係；
（ii）設點q是曲線c上的乙個動點，求它到直線l的距離的最小值.
9．（2011 遼寧）在平面直角座標系xoy中，曲線c1的引數方程為（為引數），曲線c2的引數方程為（，為引數），在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，射線l：θ=與c1，c2各有乙個交點．當=0時，這兩個交點間的距離為2，當=時，這兩個交點重合．
（i）分別說明c1，c2是什麼曲線，並求出a與b的值；
（ii）設當=時，l與c1，c2的交點分別為a1，b1，當=時，l與c1，c2的交點為a2，b2，求四邊形a1a2b2b1的面積．
10．（2011 新課標）在直角座標系xoy中，曲線的引數方程為為引數），m為上的動點，p點滿足，點p的軌跡為曲線．
（i）求的方程；
（ii）在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，射線與的異於極點的交點為a，與的異於極點的交點為b，求|ab|．
11、（2010遼寧理數）
已知p為半圓c為引數，）上的點，點a的座標為（1,0），
o為座標原點，點m在射線op上，線段om與c的弧的長度均為。
（）以o為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，求點m的極座標；
（）求直線am的引數方程。
12、（2010福建理數）在直角座標系xoy中，直線的引數方程為（t為引數）。在極座標系（與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓c的方程為。
（ⅰ）求圓c的直角座標方程；（ⅱ）設圓c與直線交於點a、b，若點p的座標為，
求|pa|+|pb|。
極座標系與引數方程講義學生
座標系與引數方程 一.極座標系的概念與直角座標互化 定義 如圖，在平面上任意取乙個點o，叫做極點，自極點o引一條射線ox，叫極軸，再取乙個長度單位，乙個角度單位及其正方向，這樣就建立了極座標系ox。有序數對p 叫做點的極座標，當時，極徑表示點p到o的距離，單位 弧度 表示以ox為始邊，op為終邊的角...
極座標與引數方程專題 複習答案
極座標與引數方程專題 高二文數 班別學號姓名 1 2018北京 在極座標系中，直線與圓相切，則 1 解析 利用，可得直線的方程為，圓的方程為，所以圓心，半徑，由於直線與圓相切，故圓心到直線的距離等於半徑，即，或，又，2 2017北京 在極座標系中，點a在圓上，點p的座標為 則的最小值為 2 1 解析...
座標系與引數方程
知識要點 1 極座標系的概念，極座標系中點的表示 在平面內取乙個定點o，o點出發的一條射線ox，乙個長度單位及計算角度的正方向 通常取逆時針方向 合稱為乙個極座標系 o稱為極點，ox稱為極軸 設m是平面內任意一點，極點o與點m的距離 om 叫做點m的極徑，記作 以極軸ox為始邊，射線om為終邊的角x...