一.極座標
1.極座標系的概念
(1)極座標系如圖所示
,在平面內取乙個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定乙個長度單位,乙個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了乙個極座標系.
注:平面直角座標系內的點與座標能建立一一對應的關係,而極座標系則不可.但極座標系和平面直角座標系都是平面座標系.
(2)極座標:設m是平面內一點,極點與點m的距離|om|叫做點m的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點m的極角,記為.有序數對叫做點m的極座標,記作.
說明:1)不作特殊說明時,我們認為可取任意實數.2)當點在極點時,它的極座標為(0,).
此時平面內乙個點的極座標有無數種表示.3)如果規定,那麼除極點外,平面內的點可用唯一的極座標表示;同時,極座標表示的點也是唯一確定的.
2.極座標和直角座標的互化
(1)互化背景:把直角座標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,並在兩種座標系中取相同的長度單位,如圖所示:
(2)互化公式:設是座標平面內任意一點,它的直角座標是,極座標是(),於是極座標與直角座標的互化公式如表:
二、引數方程
1.引數方程的概念:在平面直角座標系中,如果曲線上任意一點的座標都是某個變數的函式①,並且對於的每乙個允許值,由方程組①所確定的點都在這條曲線上,那麼方程①就叫做這條曲線的引數方程,聯絡變數的變數叫做參變數,簡稱引數,相對於引數方程而言,直接給出點的座標間關係的方程叫做普通方程.
2.引數方程和普通方程的互化
(1)曲線的引數方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去引數而從引數方程得到普通方程.
(2)如果知道變數中的乙個與引數的關係,例如,把它代入普通方程,求出另乙個變數與引數的關係,那麼就是曲線的引數方程,在引數方程與普通方程的互化中,必須使的取值範圍保持一致.
注：普通方程化為引數方程，引數方程的形式不一定唯一。應用引數方程解軌跡問題，關鍵在於適當地設引數，如果選用的引數不同，那麼所求得的曲線的引數方程的形式也不同。
3.直線的引數方程:經過點，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的引數方程為。
注：直線引數方程中引數的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的引數方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數量，當點在上方時，＞0；當點在下方時，＜0；當點與重合時， =0。
4．圓的引數方程:圓心為，半徑為的圓的普通方程是，
它的引數方程為：。
練習試題
1．已知曲線的引數方程為(為引數)，曲線的極座標方程為.
（ⅰ）將曲線的引數方程化為普通方程，將曲線的極座標方程化為直角座標方程；
（ⅱ）在同一座標系下，曲線是否相交，若相交，請求出公共弦的長；若不相交，請說明理由.
2．選修4-4：極座標與引數方程
在直角座標系中，曲線的引數方程為（為引數）
（1）求曲線的普通方程；
（2）在以為極點，正半軸為極軸的極座標系中，直線方程為，
已知直線與曲線相交於兩點，求．
3．選修4-4：座標系與引數方程
已知在直角座標系中，曲線的引數方程為（為引數），現以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，直線的極座標方程為．
（1）求曲線的普通方程和直線的直角座標方程；
（2）在曲線上是否存在一點，使點到直線的距離最小？若存在，求出距離的最小值及點的直角座標；若不存在，請說明理由.
4．在平面直角座標系中，已知圓，圓.
（1）在以為極點，軸正半軸為極軸的極座標系中，分別求圓與圓的極座標方程及兩圓交點的極座標；
（2）求圓與圓的公共弦的引數方程.
5．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，直線的引數方程是（為引數），以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為：．
（1）把直線的引數方程化為極座標方程，把曲線的極座標方程化為普通方程；
（2）求直線與曲線交點的極座標（，）．
6．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為．
（1）求的直角座標方程；
（2）曲線的引數方程為（為引數），求與的公共點的極座標．
7．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為．
（1）求的直角座標方程；
（2）曲線的引數方程為（為引數），求與的公共點的極座標．
8．選修4-4：座標系與引數方程
已知直線的引數方程為（為引數），以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，圓的極座標方程為．
（1）求圓的直角座標方程；
（2）若是直線與圓面的公共點，求的取值範圍．
9．已知極座標系的極點在直角座標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合．直線的引數方程為（為引數），曲線的極座標方程為．
（1）寫出的直角座標方程，並指出是什麼曲線；
（2）設直線與曲線相交於、兩點，求的值．
10．選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系中，直線的引數方程是（為引數），以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，已知曲線的極座標方程為．
（1）求曲線的普通方程；
（2）若直線與曲線交於不同兩點，求的取值範圍．
11．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，直線的引數方程為（其中為引數），現以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，已知曲線的極座標方程為.
（ⅰ）寫出直線和曲線的普通方程；
（ⅱ）已知點為曲線上的動點，求到直線的距離的最小值.
12．選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系中，以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為，直線的方程為.
（1）寫出曲線的引數方程；
（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最大，並求出此最大值.
13．選修4-4：極座標與引數方程
已知直線(為引數)，曲線(為引數).
(1)當時，求與的交點座標；
(2)點為曲線上一動點，當時，求點到直線距離最大時點的座標.
14．選修4-4：座標系與引數方程
已知曲線的極座標方程是，以極點為平面直角座標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角座標系，在平面直角座標系，直線經過點，傾斜角．
（1）寫出曲線的直角座標方程和直線的引數方程；
（2）設與曲線相交於，兩點，求的值．
15．選修：座標系與引數方程
在極座標系中，已知三點.
（ⅰ）求經過的圓的極座標方程；
（ⅱ）以極點為座標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角座標系，圓的引數方程為（為引數），若圓與圓外切，求實數的值.
16．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，傾斜角為的直線的引數方程為（為引數）.以座標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極座標系，曲線的極座標方程是.
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角座標方程；
（2）已知點.若點的極座標為，直線經過點且與曲線相交於兩點，設線段的中點為，求的值.
17．選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系中，曲線的引數方程為（為引數），以座標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極座標系，曲線的極座標方程為．
（1）寫出的普通方程和的直角座標方程；
（2）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角座標．
18．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，的引數方程為（為引數），在以座標原點為極點，軸正半軸為極軸的極座標系中，的極座標方程.
（ⅰ）說明是哪種曲線，並將的方程化為普通方程；
（ⅱ）與有兩個公共點，頂點的極座標，求線段的長及定點到兩點的距離之積.
19．選修4-4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，的引數方程為（為引數），在以座標原點為極點，軸正半軸為極軸的極座標系中，的極座標方程．
（ⅰ）說明是哪種曲線，並將的方程化為普通方程；
（ⅱ）與有兩個公共點，頂點的極座標，求線段的長及定點到兩點的距離之積．
20．選修4-4：座標系與引數方程
以直角座標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個座標系取相等的單位長度．已知直線的引數方程是（為引數），曲線的極座標方程是．
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角座標方程；
（2）設直線與曲線相交於，兩點，點為的中點，點的極座標為，求的值．
21．選修4-4：座標系與引數方程
已知曲線：（引數），以座標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極座標系，曲線的極座標方程為，點的極座標為．
（1）將曲線的極座標方程化為直角座標方程，並求出點的直角座標；
（2）設為曲線上的點，求中點到曲線上的點的距離的最小值．
參***
1．試題解析： （ⅰ）由（為引數)得，
曲線的普通方程為.
∵，∴.
∴有即為所求曲線的直角座標方程.
（ⅱ）∵圓的圓心座標,圓的圓心座標為，
∴，所以兩圓相交.
設相交弦長為，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段，
∴，∴.即所求公共弦的長為.
2．試題解析：（1）由已知，結合，消去得：
普通方程為，化簡得
（3）由知，化為普通方程為
圓心到直線的距離，
由垂徑定理
考點：引數方程；極座標方程；直線與圓的位置關係.
複數 極座標引數方程
1.複數的共軛複數是 2.設複數滿足 為虛數單位 則 3.已知i為虛數單位，複數z滿足 1 i z 2，則z 4.已知複數滿足，則的最大值是 5.已知圓的極座標方程為,圓心為c,點p的極座標為,則 cp 6.已知曲線的引數方程為 為引數 在點處的切線為,以座標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極座標系...
極座標與引數方程經典題型
座標系與引數方程 一 極座標系 一 知識梳理 1.平面上點的極座標 注 1 平面上乙個點的極座標並不是唯一的。2 對於，通常情況下，認為。只有的事先說明的情況下會有。2.極座標與直角座標的關係 3.曲線的極座標方程 1 直線的極座標方程 根據題中所給的條件，再結合構建三角形。進而能推出關於的關係式。...
學案55極座標與引數方程
學案55選修部分 一 知識梳理 一 幾何證明選講 1.平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那麼在其他直線上截得的線段 推論1 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 推論2 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線 2.平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的成...