一次函式與二次函式可能有乙個焦點或兩個焦點或沒有交點，對於兩個
（1） 求二次函式表示式時要填寫最終的一般式
（2） 由一般式變頂點式時，可通過兩個方法
方法一：通過定點座標公式直接代入頂點式中，有一點需要注意，（x-h）
方法二：可通過配方法解決問題
1．如圖，將拋物線m1: 向右平移3個單位，
再向上平移3個單位，得到拋物線m2，直線與m1
的乙個交點記為a，與m2的乙個交點記為b，點a的
橫座標是－3.
（1）求的值及m2的表示式；
（2）點c是線段ab上的乙個動點，過點c作x軸的
垂線，垂足為d，在cd的右側作正方形cdef.
①當點c的橫座標為2時，直線恰好經過
正方形cdef的頂點f，求此時的值；
②在點c的運動過程中，若直線與正方形cdef始終沒有公共點，求的
取值範圍（直接寫出結果）.
1. 解：（1）∵ 點a在直線，且點a的橫座標是－3，
∴ a(－3，－31分
把a(－3，－3)代入，
解得=12分
∴m1 : ，頂點為(－2，－4) .
∴m2的頂點為(1，－1) .
∴m2的表示式為. …………3分
（2）①由題意，c(2，2)，
∴f(4，24分
∵直線經過點f，
∴2=4+.
解得=－25分
②＞3，＜－67分
一次函式與二次函式影象的結合，一定要多畫影象進行觀察通常是找臨界點進行觀察計算
2．在平面直角座標系xoy中，拋物線與y軸交於c點，與x軸交於a，b兩點（點a在點b左側），且點a的橫座標為-1．
（1）求a的值；
（2）設拋物線的頂點p關於原點的對稱點為，求點的座標；
（3）將拋物線在a，b兩點之間的部分（包括a， b兩點），先向下平移3個單位，再向左平移m（）個單位，平移後的圖象記為圖象g，若圖象g與直線無交點，求m的取值範圍．
2．解：
（1）∵a（-1，0）在拋物線上，
1分∴解得2分
（2）∴拋物線表示式為．
∴拋物線的頂點p的座標為（1，43分
（會配方，套公式給1分）
∵點p關於原點的對稱點為，
∴的座標為（-1，-44分
（3）直線的表示式為5分
圖象向下平移3個單位後，的座標為（-1，-3），的座標為（3，-3），
若圖象g與直線無交點，則要左移到及左邊，
令代入，則，的座標為，……… 6分
∴，7分
二次函式與斜率不確定的一次函式結合題型，判斷交點問題
3．已知：關於x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．
（1）求證：該方程有兩個不相等的實數根；
（2）當拋物線y=－x2+(m+1)x+(m+2)經過點
（3，0），求該拋物線的表示式；
（3）在（2）的條件下，記拋物線y=－x2+(m+1)x+(m+2)
在第一象限之間的部分為圖象g，如果直線
y=k(x+1)+4與圖象g有公共點，請結合函式
的圖象，求直線y=k(x+1)+4與y軸交點的縱座標t的取值範圍．
3．（本小題滿分7分）
（1）證明：∵ △= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)
=(m+3)21分
∵ m＞0，
∴ (m+3)2＞0，
即 △＞0，
∴ 原方程有兩個不相等的實數根2分
（2）解：∵ 拋物線拋物線y=－x2+(m+1)x+(m+2)經過點（3，0），
∴ －32+3(m+1)+(m+2)=03分
∴ m=1.
∴ y=－x2+2x+34分
（3）解：∵ y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，
∴ 該拋物線的頂點為（1，4）.
∴ 當直線y=k(x+1)+4經過頂點（1，4）時，
∴ 4=k(1+1)+4，
∴ k=0，
∴ y=4.
∴ 此時直線y=k(x+1)+4與y軸交點的縱座標為45分
∵ y=－x2+2x+3，
∴ 當x=0時，y=3，
∴ 該拋物線與y軸的交點為（0，3）.
∴ 此時直線y=k(x+1)+4與y軸交點的縱座標為36分
∴ 3＜t≤47分
一次函式與二次函式焦點個數問題
4．在平面直角座標系中，拋物線經過點（-1，a ），（3，a），且最低點的縱座標為.
（1）求拋物線的表示式及a的值；
（2）設拋物線頂點c關於y軸的對稱點為點d，點p是拋物線對稱
軸上一動點，記拋物線在點a，b之間的部分為圖象g（包含a，b兩點）.如果直線dp與圖象g恰有兩個公共點，結合函式圖象，求點p縱座標t的取值範圍.
4 . 解：（1）∵拋物線過點
（-1，a ），（3，a），
∴拋物線的對稱軸x=1．.……. 1分
∵拋物線最低點的縱座標為-4 ，
∴拋物線的頂點是（1，-4）．.……. 2分
∴拋物線的表示式是，
即．.…3分
把（-1，a ）代入拋物線表示式，求出．.……. 4分
（2）∵拋物線頂點關於y軸的對稱點為點d，∴．
求出直線的表示式為. .……. 5分
求出直線的表示式為，當時，．.……. 6分
所以．.……. 7分
二次函式與一次函式結合焦點個數問題，多畫圖進行判斷，注意臨界點
5．在平面直角座標系xoy中，拋物線與軸交於點a，頂點為點b，點c與點a關於拋物線的對稱軸對稱．
（1）求直線bc的解析式；
（2）點d在拋物線上，且點d的橫座標為4．將拋物線在點a，d之間的部分（包含點a，d）記為圖象g，若圖象g向下平移（）個單位後與直線bc只有乙個公共點，求的取值範圍．
5. (本小題滿分7分)
解：（1）∵拋物線與軸交於點a，
∴點a的座標為（0，21分
∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點b的座標為（1，）． …………2分
又∵點c與點a關於拋物線的對稱軸對稱，
∴點c的座標為(2，2)，且點c在拋物線上．
設直線bc的解析式為．
∵直線bc經過點b（1，）和點c(2，2)，
∴解得∴直線bc的解析式為
3分（2）∵拋物線中，
當時，，
∴點d的座標為(4，6)． ………………4分
∵直線中，
當時，，
當時，，
∴如圖，點e的座標為(0，1)，
點f的座標為(4，3)．
設點a平移後的對應點為點，點d平移後的對應點為點．
當圖象g向下平移至點與點e重合時，點在直線bc上方，
此時t=15分
當圖象g向下平移至點與點f重合時，點在直線bc下方，此時t=3．
6分結合圖象可知，符合題意的t的取值範圍是7分
6．在平面直角座標系中，拋物線經過點（-1，a ），（3，a），且最低點的縱座標為.
（1）求拋物線的表示式及a的值；
（2）設拋物線頂點c關於y軸的對稱點為點d，點p是拋物線對稱
軸上一動點，記拋物線在點a，b之間的部分為圖象g（包含a，b兩點）.如果直線dp與圖象g恰有兩個公共點，結合函式圖象，求點p縱座標t的取值範圍.
6 . 解：（1）∵拋物線過點
（-1，a ），（3，a），
∴拋物線的對稱軸x=1．.……. 1分
∵拋物線最低點的縱座標為-4 ，
∴拋物線的頂點是（1，-4）．.……. 2分
∴拋物線的表示式是，
即．.…3分
把（-1，a ）代入拋物線表示式，求出．.……. 4分
（2）∵拋物線頂點關於y軸的對稱點為點d，∴．
求出直線的表示式為. .……. 5分
求出直線的表示式為，當時，．.……. 6分
所以．.……. 7分
7．在平面直角座標系xoy中，拋物線與軸交於點a，頂點為點b，點c與點a關於拋物線的對稱軸對稱．
（1）求直線bc的解析式；
（2）點d在拋物線上，且點d的橫座標為4．將拋物線在點a，d之間的部分（包含點a，d）記為圖象g，若圖象g向下平移（）個單位後與直線bc只有乙個公共點，求的取值範圍．
7. (本小題滿分7分)
解：（1）∵拋物線與軸交於點a，
∴點a的座標為（0，21分
∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點b的座標為（1，）． …………2分
又∵點c與點a關於拋物線的對稱軸對稱，
∴點c的座標為(2，2)，且點c在拋物線上．
設直線bc的解析式為．
∵直線bc經過點b（1，）和點c(2，2)，
∴解得∴直線bc的解析式為
3分（2）∵拋物線中，
當時，，
∴點d的座標為(4，6)． ………………4分
∵直線中，
當時，，
當時，，
∴如圖，點e的座標為(0，1)，
點f的座標為(4，3)．
設點a平移後的對應點為點，點d平移後的對應點為點．
當圖象g向下平移至點與點e重合時，點在直線bc上方，
此時t=15分
當圖象g向下平移至點與點f重合時，點在直線bc下方，此時t=3．
6分結合圖象可知，符合題意的t的取值範圍是7分
8．二次函式的圖象與一次函式k的圖象交於、兩點，為二次函式圖象的頂點.
（1）求二次函式的表示式；
（2）在所給的平面直角座標系中畫出二次函式的圖象和一次函式k的圖象；
（3）把（1）中的二次函式的圖象平移後得到新的二次函式的圖象,.定義新函式f：「當自變數x任取一值時，x對應的函式值分別為或，如果≠，函式f的函式值等於、中的較小值;如果=，函式f的函式值等於（或）.
」當新函式f的圖象與x軸有三個交點時,直接寫出m的取值範圍.
5 一次函式與二次函式
一 知識歸納 1.一次函式 當時，是增函式 當時，是減函式 2.二次函式 一般式 對稱軸方程是x 頂點為 兩點式 對稱軸方程是x 與軸交點 x，0 x，0 頂點式 對稱軸方程是x k 頂點為 k，h 二次函式的單調性 當時 為增函式 為減函式 當時 為增函式 為減函式 二次函式求最值問題 首先要採用...
《二次函式與一次函式的綜合應用》教學反思
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