第1課時一元二次方程及其解法（直接開平方法）
主備人：景永興審核人：蔣豔燕
一、教學目標:1、知識目標：經歷由實際問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型。
2、能力目標：了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0），正確理解和掌握一般形式中的a≠0，「項」和「係數」等概念；會根據實際問題列一元二次方程；會用直接開平方法法解一元二次方程。
3、情感目標：體會轉化的思想方法。
二、教學重點：正確理解和掌握一般形式中的a≠0，「項」和「係數」等概念；會用直接開平方法法解一元二次方程。
三、教學難點：理解直接開平方法與平方根的定義的關係，會用直接開平方法解一元二次方程。
四、教學型別：新授。
五、教學過程：
一、 做一做：
1．問題1 綠苑小區住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開闢面積為900平方公尺的一塊長方形綠地，並且長比寬多10公尺，那麼綠地的長和寬各為多少？
分析：設長方形綠地的寬為x公尺，不難列出方程 x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0. （1）
2．問題2
學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.
解：設這兩年的年平均增長率為x，我們知道，去年年底的圖書數是5萬冊，則今年年底的圖書數是5（1＋x）萬冊；同樣，明年年底的圖書數又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2萬冊.可列得方程 5（1＋x）2=7.
2,整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2）
3．思考、討論
這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元一次方程.那麼這兩個方程與一元一次方程的區別在**？
它們有什麼共同特點呢？（ 學生分組討論，然後各組交流 ）
共同特點：（1） 都是整式方程
（2） 只含有乙個未知數
（3） 未知數的最高次數是2
二、 一元二次方程的概念
上述兩個整式方程中都只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2，這樣的方程叫做一元二次方程）.通常可寫成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知數，a≠0)。
其中叫做二次項，叫做二次項係數；叫做一次，叫做一次項係數，叫做常數項。.
三、 例題講解與練習鞏固
1．例1：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。
（1） （2）
（3） （4）
2．例2：將下列方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項：
12）（x-2）(x+3)=8 3）
說明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有兩個特徵：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次項係數不能為0。
此外要使學生意識到：二次項、二次項係數、一次項、一次項係數、常數項都是包括符號的。
3．例3： 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什麼條件下此方程為一元二次方程？在什麼條件下此方程為一元一次方程？
本題先由同學討論，再由教師歸納。
4．例4：已知關於x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根為2，求m。
分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。
5．練習：
1、將下列方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項
2x(x-1)=3(x-5)-4
2、關於的方程，在什麼條件下是一元二次方程？在什麼條件下是一元一次方程？
四、思考：如何解方程呢？
分析：由平方根的定義可知即此一元二次方程兩個根為。我們把這種解一元二次方程的方法叫直接開平方法。
說明：形如方程可變形為的形式，即方程左邊是關於x的一次式的平方，右邊是乙個非負常數，可用直接開平方法解此方程。方程的兩根分別用表示。
五、例題講解：
例5、解下列方程 ：
（12）
分析：用直接開平方法求解
變式1：解方程
例6：解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝02）12（2－x）2－9＝0.
說明：（1）中只要把看作乙個整體，就可以轉化為（≥0）型的方法去解決，這裡體現了整體思想。
思考：形如的方程的解法。
練習：練習一解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）4x2+16＝0
練習二解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0 （2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0
拓展：(12
練習：（12）
本課小結：
1、只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式為（≠0），一元二次方程的項及係數都是根據一般式定義的，這與多項式中的項、次數及其係數的定義是一致的。
3、在實際問題轉化為數學模型（ 一元二次方程 ）的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。
4、對於形如（a≠0,a≥0）的方程，只要把看作乙個整體，就可轉化為（n≥0）的形式用直接開平方法解。
5、當方程出現相同因式（單項式或多項式）時，切不可約去相同因式，而應用因式分解法解。
第1課時一元二次方程及其解法（直接開平方法）學案
一、 做一做：
1．問題1 綠苑小區住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開闢面積為900平方公尺的一塊長方形綠地，並且長比寬多10公尺，那麼綠地的長和寬各為多少？
2．問題2 學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.
3．思考、討論：
這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元一次方程.那麼這兩個方程與一元一次方程的區別在**？它們有什麼共同特點呢？
共同特點：（1
（2（3
二、 一元二次方程的概念：
上述兩個整式方程中都只含有並且未知數的這樣的方程叫做一元二次方程。通常可寫成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知數，a≠0)。
其中叫做二次項，叫做二次項係數；叫做一次項，叫做一次項係數，叫做常數項。.
三、 例題講解與練習鞏固
1．例1：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。
（1） （2） （3） （4）
2．例2：將下列方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項：
12）（x-2）(x+3)=8 3）
3．例3： 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什麼條件下此方程為一元二次方程？在什麼條件下此方程為一元一次方程？
4．例4：已知關於x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根為2，求m。
5．練習：
1、將下列方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項
2x(x-1)=3(x-5)-4
2、關於的方程，在什麼條件下是一元二次方程？在什麼條件下是一元一次方程？
四、思考：如何解方程呢？
五、例題講解：
例5、解下列方程 ：
（12）
變式1：解方程
例6：解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝02）12（2－x）2－9＝0.
思考：形如的方程的解法。
練習：練習一解下列方程：
（1）x2＝1692）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝04）4x2+16＝0
練習二解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝02）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝14）(2x＋3)2－25＝0
拓展：(12練習：（12）
第22章一元二次方程及其解法
1 定義 形如 ax2 bx c 0 a 0 的方程叫一元二次方程。是整式方程，未知數的最高次數是二次，只含有乙個未知數，二次項係數不為零。2 化為一元二次方程的一般形式 按降冪排列，二次項係數通常為正，右端為零。3 一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。代入使方程成立。解一元二次...
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一元二次方程及相關的概念 一元二次方程定義中的三個條件 是整式方程 含有乙個未知數 未知數的最高次數是 三個條件缺一不可。2 一般地，任何乙個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式這種形式叫做一元二次方程的一般形式 其中ax2是是二次項係數 bx是是一次項係數 是常數項。注意 二次項 係數...
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八年級數學 下 導學案 第8章 一元二次方程複習 1 設計人於敏 學習目標 1 理解一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式。2 會選擇適當的方法解一元二次方程。3 知道根的判別式與根與係數的關係，能根據它們解決簡單的問題。知識回顧 知識點一 一元二次方程的解及有關概念 常見題型 1 一元二次...