2012版高三數學一輪精品複習學案：第八章解析幾何單元總結與測試
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一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1. 過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是( )
a．x－2y－1＝0b．x－2y＋1＝0
c．2x＋y－2＝0d．x＋2y－1＝0
[答案] a
[解析] 解法1：所求直線斜率為，過點(1,0)，由點斜式得，y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
解法2：設所求直線方程為x－2y＋b＝0，
∵過點(1,0)，∴b＝－1，故選a.
2. 若圓c的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是( )
a．(x－3)2＋2＝1
b．(x－2)2＋(y－1)2＝1
c．(x－1)2＋(y－3)2＝1
d. 2＋(y－1)2＝1
[答案] b
[解析] 依題意設圓心c(a,1)(a>0)，由圓c與直線4x－3y＝0相切得，＝1，解得a＝2，則圓c的標準方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選b.
3. 直線x＋y＝1與圓x2＋y2－2ay＝0(a>0)沒有公共點，則a的取值範圍是( )
a．(0，－1b．(－1，＋1)
c．(－－1，＋1d．(0，＋1)
[答案] a
[解析] 圓的方程x2＋(y－a)2＝a2，由題意知圓心(0，a)到直線x＋y－1＝0距離大於a，即》a，解得－1－0，∴04．已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則該雙曲線的離心率是 ( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] 設雙曲線方程為－＝1，則由題意得，＝4，∴＝16，∴e＝.
5．已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則該雙曲線的離心率是 ( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] 設雙曲線方程為－＝1，則由題意得，＝4，∴＝16，∴e＝.
6．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為( )
a．－2b．2
c．－4d．4
[答案] d
[解析] 橢圓中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，
∴右焦點(2,0)，由題意知＝2，∴p＝4.
7．已知雙曲線－＝1的乙個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等於，則該雙曲線的方程為( )
a．5x2－y2＝1b.－＝1
c.－＝1d．5x2－y2＝1
[答案] d
[解析] 拋物線y2＝4x焦點為(1,0)，∴雙曲線中c＝1，
又e＝＝，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝1－＝，
∴雙曲線方程為－＝1.
8．在一張矩形紙片上，畫有乙個圓(圓心為o)和乙個定點f(f在圓外)．在圓上任取一點m，將紙片摺疊使點m與點f重合，得到摺痕cd.設直線cd與直線om交於點p，則點p的軌跡為( )
a．雙曲線b．橢圓
c．圓d．拋物線
[答案] a
[解析] 由op交⊙o於m可知|po|－|pf|＝|po|－|pm|＝|om|<|of|(f在圓外)，∴p點的軌跡為雙曲線，故選a.
9．在平面直角座標系中，矩形oabc，o(0,0)，a(2,0)，c(0,1)，將矩形摺疊，使o點落**段bc上，設摺痕所在直線的斜率為k，則k的取值範圍為( )
a．[0,1b．[0,2]
c．[－1,0d．[－2,0]
[答案] d
[解析] 如圖，要想使摺疊後點o落**段bc上，可取bc上任一點d作線段od的垂直平分線l，以l為摺痕可使o與d重合，故問題轉化為**段cb上任取一點d，求直線od的斜率的取值範圍問題，
∵kod≥kob＝，∴k＝－≥－2，且k<0，
又當摺疊後o與c重合時，k＝0，∴－2≤k≤0.
10．已知圓c的方程為x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，當圓心c到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時，k的值為( )
ab.cd．－
[答案] d
[解析] 圓c的方程可化為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心c的座標為(－1,1)，又直線kx＋y＋4＝0恆過點a(0，－4)，所以當圓心c到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時，直線ca應垂直於直線kx＋y＋4＝0，直線ca的斜率為－5，所以－k＝，k＝－.
11．已知p為拋物線y2＝4x上乙個動點，q為圓x2＋(y－4)2＝1上乙個動點，那麼點p到點q的距離與點p到拋物線的準線距離之和的最小值是( )
a．5b．8
c.－1d.＋2
[答案] c
[解析] 拋物線y2＝4x的焦點為f(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為c(0,4)，設點p到拋物線的準線距離為d，根據拋物線的定義有d＝|pf|，∴|pq|＋d＝|pq|＋|pf|，由圓的幾何性質及三角形兩邊之和大於第三邊可知，當p、q、f、c四點共線時取最小值，故最小值為|fc|－1＝－1.
12．平面α的斜線ab交α於點b，過定點a的動直線l與ab垂直，且交α於點c，則動點c的軌跡是( )
a．一條直線b．乙個圓
c．乙個橢圓d．雙曲線的一支
[答案] a
[解析] 過定點a且與ab垂直的直線l都在過定點a且與ab垂直的平面β內，直線l與α的交點c也是平面α、β的公共點．點c的軌跡是平面α、β的交線．
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 若直線的斜率為，傾斜角為，而，則的取值範圍是 .
答案：14．已知動點在橢圓上，若點座標為且，則的最小值是 。
答案：15．設分別是雙曲線的左、右焦點．若點在雙曲線上，且，則
解析：設分別是雙曲線的左、右焦點．若點在雙曲線上，且，則=；
16．若一條曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則我們稱此曲線為「雙重對稱曲線」．有下列四條曲線：
其中是「雙重對稱曲線」的序號是 ①③（對乙個給2分） ．
答案：三、解答題（本大題共6個小題，總分74分）
17. （本小題滿分12分）若的頂點，，，求的平分線所在的直線的方程．
解法一：直線到的角等於到的角， 。。。。1分
3分設的斜率為(或)，則有6分
解得或（捨去10分
∴直線的方程為，即． 。。。12分
解法二：設直線上動點，則點到、的距離相等，即：，
∴或結合圖形分析，知是的角的外角平分線，捨去．所以所求的方程為．
18．（本小題滿分12分）如圖，平面直角座標系中，和為等腰直角三角形，,設和的外接圓圓心分別為.
（ⅰ）若圓m與直線相切，求直線的方程；
（ⅱ）若直線截圓n所得弦長為4，求圓n的標準方程；
16、解析：(ⅰ)由已知得 b(0,2) ∴m(-1,1)
∴ 圓m的方程為 （x+1）+(y-1)=2
又cd直線的方程為 x+y-a=0
∵圓m與直線cd相切
∴ 又a>0
∴ a=26分）
(ⅱ) 由已知得直線ab的方程為
x-y+2=0 圓心n()
∴ 圓心n到直線ab的距離為
直線ab截圓n所得的弦長為4
∴∴ a= (負值捨去)
∴ 圓n的方程為……………………（12分）
19． (本小題滿分12分)
已知以點a(-1,2)為圓心的圓與直線：相切.過點b(-2,0)的動直線與圓a相交與、兩點，是的中點，直線與相交於點.
(i) 求圓a的方程；（ii）當時，求直線的方程；（iii）是否為定值，如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.
解析：設圓a的半徑為,由於圓a與直線：相切，
2分圓a的方程為4分
(ii) ①當直線與軸垂直時, 易知符合題意……………5分
②當直線與軸不垂直時,
設直線的方程為，即，
鏈結,則
6分則由，得, ∴直線：.
故直線的方程為或7分
(iii)∵,∴ …10分
當與軸垂直時，易得，則,又,
9分②當的斜率存在時，設直線的方程為，
則由，得（）,則
∴綜上所述，是定值，且.…………………12分
20．（本小題滿分12分）
已知a、b、c是橢圓上的三點，其中點a的座標為，bc過橢圓m的中心，且.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交於兩點p，q，設d為橢圓m與y軸負半軸的交點，且.求實數t的取值範圍.
【解析】（ⅰ）∵過（0，0）
則∴∠oca=90°， 即 ………
又將點c座標代入得
解得 ，所以橢圓m6分
（ⅱ）由條件d（0，-2），因為m（0，t）
當k=0時，顯然 -2當時，設
消y得由，可得
設中點則
由即 化簡得
所以，將代入
得t的範圍是（1，4）
綜上12分
21．（本小題滿分12分）
已知拋物線，直線與c交於a，b兩點，o為座標原點。
（1）當，且直線過拋物線c的焦點時，求的值；
（2）當直線oa，ob的傾斜角之和為45°時，求，之間滿足的關係式，並證明直線過定點。
解析：（1）拋物線的焦點為（1，0） 1分
由已知=，設，，
聯立，消得，
所以3分
（2）聯立，消得依題意≠0）
6分 設直線oa， ob的傾斜角分別為α，β，斜率分別為，，則α+β=45°，
8分 其中，，代入上式整理得 9分
所以，即10分
此時，使（*）式有解的，有無陣列
直線的方程為，整理得
消去，即時恆成立，
所以直線過定點（-4，412分
22．（本題滿分14分）如圖，△abc為直角三角形，點m在y軸上，，
點c在x軸上移動．
（1）求點b的軌跡e的方程；
（2）過點的直線l與曲線e交於p、q兩點，設
的夾角為，若恒有，求實數的取值範圍；
（3）設以點n(0，m)為圓心，以為半徑的圓與曲線e在第一象限的交點h，
若圓在點h處的切線與曲線e在點h處的切線互相垂直，求實數m的值．
高三數學一輪複習
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