第3講等比數列
★ 知識梳理 ★
1.等比數列的概念
如果乙個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等於同乙個常數，這個數列叫做等比數
列，常數稱為等比數列的公比.
2.通項公式與前項和公式
⑴通項公式：，為首項，為公比 .
⑵前項和公式：①當時，
②當時，.
3.等比中項
如果成等比數列，那麼叫做與的等比中項.
即：是與的等差中項，，成等差數列.
4.等比數列的判定方法
⑴定義法：（，是常數）是等比數列；
⑵中項法：()且是等比數列.
5.等比數列的常用性質
⑴數列是等比數列，則數列、（是常數）都是等比數列；
⑵在等比數列中，等距離取出若干項也構成乙個等比數列，即為等比數列，公比為.
⑶⑷若，則；
⑸若等比數列的前項和，則、、、是等比數列.
★ 重難點突破 ★
1.重點：理解等比數列的概念,掌握等比數列的通項公式、前項和公式並能解決實際問題；理解等比中項的概念,掌握等比數列的性質.
2.難點：利用等比數列的性質解決實際問題.
3.重難點：正確理解等比數列的概念，靈活運用等比數列的性質解題.
⑴求等比數列的公比、、求值、判定等比數列等通常運用等比數列的概念、公式及其性質.
問題1：已知等比數列的前項和(是非零常數),則數列是( )
a.等差數列 b.等比數列 c.等差數列或等比數列 d.非等差數列
分析：先由求出，再根據等差、等比數列定義作出判定.
解析：，
當且時，是等比數列；當時，是等差數列，選c.
⑵求實數等比數列的中項要注意符號，求和要注意分類討論.
問題2：若實數數列是等比數列，則
分析：本題容易錯認為，由等比數列的等比中項公式，得
解析：是等比數列，，得
又是等比數列，，.
★ 熱點考點題型探析★
考點1等比數列的通項與前n項和
題型1已知等比數列的某些項，求某項
【例1】已知為等比數列，，則
【解題思路】可以考慮基本量法，或利用等比數列的性質
【解析】方法1：
方法2：，
方法3：為等比數列
【名師指引】給項求項問題，先考慮利用等比數列的性質，再考慮基本量法.
題型2 已知前項和及其某項，求項數.
【例2】⑴已知為等比數列前項和，，，公比，則項數 .
⑵已知四個實數，前三個數成等差數列，後三個數成等比數列，首末兩數之和為，中間兩數之和為，求這四個數.
【解題思路】⑴利用等比數列的通項公式及求出及，代入可求項數；⑵利用等差數列、等比數列設出四個實數代入已知，可求這四個數.
【解析】⑴由，，公比，得.
⑵方法1：設這四個數分別為，則；
方法2：設前個數分別為，則第個數分別為，則
，解得或；
方法3：設第個數分別為，則第個數為，第個數為，則
或；方法4：設第個數分別為，設第個數分別為；
方法5：設第個數分別為，則設第個數分別為，則
或【名師指引】平時解題時，應注意多方位、多角度思考問題，加強一題多解的練習，這對提高我們的解題能力大有裨益.
題型3 求等比數列前項和
【例3】等比數列中從第5項到第10項的和.
【解題思路】可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，
由成等比數列求解.
【解析】由，得，
，，【例4】已知為等比數列前項和，，求
【解題思路】可以先求出，再根據的形式特點求解.
【解析】，
即【例5】已知為等比數列前項和，，求.
【解題思路】分析數列通項形式特點，結合等比數列前項和公式的推導，採用錯位相減法求和.
【解析】
①—②，得
【名師指引】根據數列通項的形式特點，等比數列求和的常用方法有：公式法、性質法、分解重組法、錯位相減法，即數列求和從「通項」入手.
【新題導練】
1.已知為等比數列，，求的值.
【解析】設等比數列的公比為，
，，；2.如果將依次加上同乙個常數後組成乙個等比數列，則這個等比數列的公比為 .
【解析】設這個常數為，則成等比數列，
，解得，.
3.已知為等比數列的前項和，，則 ；
【解析】或，
當時，；
當時，無整數解.
4.已知等比數列中，，則其前3項的和的取值範圍是 .
【解析】∵等比數列中 ∴
∴當公比時，；
當公比時，， ∴
5.已知為等比數列前項和，，，，前項中的數值最大的項為54，求.
【解析】由，，，知，
，,又前項中的數值最大的項為:
，，考點2 證明數列是等比數列
【例6】已知數列和滿足：，，，其中為實數，.
⑴ 對任意實數，證明數列不是等比數列；
⑵ 試判斷數列是否為等比數列，並證明你的結論.
【解題思路】⑴證明數列不是等比數列，只需舉乙個反例；⑵證明數列是等比數列，
常用：①定義法；②中項法.
【解析】⑴ 證明：假設存在乙個實數，使是等比數列，則有，
即矛盾.
所以不是等比數列.
⑵ 解：因為
又，所以
當，此時不是等比數列；
當時，由上可知，此時是等比數列.
【名師指引】等比數列的判定方法：
⑴定義法：（，是常數）是等比數列；
⑵中項法：()且是等比數列.
【新題導練】
6.已知數列的首項，，…．證明：數列是等比數列；
【解析】 ， ，
，又，，
數列是以為首項，為公比的等比數列.
考點3 等比數列的性質
【例7】已知為等比數列前項和，，，則 .
【解題思路】結合題意考慮利用等比數列前項和的性質求解.
【解析】是等比數列，為等比數列，
.【名師指引】給項求項問題，先考慮利用等比數列的性質，再考慮基本量法.
【新題導練】
7.已知等比數列中，，則 .
【解析】是等比數列，
.考點4 等比數列與其它知識的綜合
【例8】設為數列的前項和，已知
⑴證明：當時，是等比數列；
⑵求的通項公式
【解題思路】由遞推公式求數列的通項公式，主要利用：
，同時注意分類討論思想.
【解析】由題意知，且 ，
兩式相減，得，即 ①
⑴當時，由①知
於是 又，所以是首項為，公比為的等比數列。
⑵當時，由（ⅰ）知，即
當時，由①得
因此 得
【名師指引】退一相減是解決含有的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含的遞推公式，從而針對性的解決；在由遞推公式求通項公式時，重視首項是否可以吸收是易錯點，同時重視分類討論，做到條理清晰是關鍵.
【新題導練】
8.設為數列的前項和，，，.
⑴ 設，求數列的通項公式；
⑵ 若，求的取值範圍．
【解析】⑴依題意，，即，
由此得．因此，所求通項公式為
⑵ 由①知 ，，於是，
當時，，
，當時，，又．
綜上，所求的的取值範圍是．
★ 搶分頻道 ★
基礎鞏固訓練
1.設是公比為正數的等比數列，若，則數列前7項的和為（ ）
【解析】c. 由，得，，
2.設等比數列的公比， 前n項和為，則（ ）
【解析】c.
3.已知等比數列滿足，則（ ）
【解析】a.，，
4.已知等比數列的前三項依次為，，，則（ ）
a． b． cd．
【解析】c.，，
5.已知是等比數列，，則=（ ）
【解析】c．，
6.(2009廣雅中學)在等比數列中，已知，，則 .
【解析】．利用成等比數列，得
綜合拔高訓練
7.(2009執信中學)
等差數列中，且成等比數列，求數列前20項的和．
【解析】解：設數列的公差為，則
， ， ．
由成等比數列得， 即，
整理得， 解得或．
當時，；當時，，
於是．8.(2009金山中學)已知數列的前項和為，；
⑴求，的值；
⑵證明數列是等比數列，並求．
【解析】⑴由得
由 ，得
⑵ 顯然，所以，是以為公比的等比數列
9.(2008湖北)
已知數列和滿足：，，，
其中為實數，.
⑴ 對任意實數，證明數列不是等比數列；
⑵ 證明：當，數列是等比數列；
⑶設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？
若存在，求的取值範圍；若不存在，說明理由.
【解析】⑴證明：假設存在乙個實數，使是等比數列，則有，
即矛盾.
所以不是等比數列.
⑵ 解：因為
又，所以，當時，
由上可知，
此時是以為首項，為公比的等比數列.
⑶當時，由⑵得 ，於是
，當時，，從而上式仍成立.要使對任意正整數n , 都有.即
令，則當n為正奇數時，；當n為正偶數時，.
的最大值為於是可得 .
綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有，的取值範圍為.
高三數學一輪複習
第一單元常用的邏輯用語 第一講集合與集合的運算 知識網路清單 1 集合的概念 我們把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合 2 集合的特性 3 元素與集合的關係 4 集合的分類 5 一般集合的表示方法 6 特殊集合的表示方法 7 8 9 若有限集a中有n個元素，則a的子集的個數為非空子集的個...
2019學年高三數學一輪複習平面向量
2011屆高三數學一輪複習測試題 平面向量 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。第 卷 選擇題共60分 一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。1 08 全國 在 abc中，c，b，若...
高三數學一輪複習計畫
2015 2016學年高三數學第一輪複習計畫安排 一 背景分析 近年來的高考數學試題逐步做到科學化 規範化，堅持了穩中求改 穩中創新的原則。考試題不但堅持了考查全面，比例適當，布局合理的特點，也突出體現了變知識立意為能力立意這一舉措。更加注重考查考生進入高校學習所需的基本素養，這些問題應引起我們在教...