1．（10分）如圖1，在正方形abcd中，e、f分別為bc、cd的中點，連線ae、bf，交點為g．
（1）求證：ae⊥bf；
（2）將沿對折，得到（如圖2），延長交的延長線於點，求的值；
（3）將繞點逆時針方向旋轉，使邊正好落在上，得到（如圖3），若和相交於點，當正方形的面積為4時，求四邊形的面積．
2．（本題滿分12分）
已知：如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b=90°，ad=2，bc=6，ab=3．e為bc邊上一點，以be為邊作正方形befg，使正方形befg和梯形abcd在bc的同側．
（1）當正方形的頂點f恰好落在對角線ac上時，求be的長；
（2）將（1）問中的正方形befg沿bc向右平移，記平移中的正方形befc為正方形b′efg，當點e與點c重合時停止平移．設平移的距離為t，正方形b′efg的邊ef與ac交於點m，連線b′d，b′m，dm，是否存在這樣的t，使△b′dm是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
3．如圖，正方形abcd的邊長為1，點e是ad邊上的動點，從點a沿ad向d運動，以be為邊，在be的上方作正方形befg，連線cg．請**：
（1）線段ae與cg是否相等？請說明理由．
（2）若設，，當取何值時，最大？
（3）連線bh，當點e運動到ad的何位置時，△beh∽△bae？
4．如圖，四邊形abcd、defg都是正方形，連線ae、cg,ae與cg相交於點m，cg與ad相交於點n。求證:
5．如圖，在平面直角座標系中，直線l平行x軸，交y軸於點a，第一象限內的點b在l上，鏈結ob，動點p滿足∠apq=90°，pq交x軸於點c．
（1）當動點p與點b重合時，若點b的座標是（2，1），求pa的長．
（2）當動點p**段ob的延長線上時，若點a的縱座標與點b的橫座標相等，求pa：pc的值．
（3）當動點p在直線ob上時，點d是直線ob與直線ca的交點，點e是直線cp與y軸的交點，若∠ace=∠aec，pd=2od，求pa：pc的值．
6．如圖1，在矩形abcd中，ab＝4，ad＝2，點p是邊ab上的乙個動點(不與點a、點b重合)，點q在邊ad上，將△cbp和△qap分別沿pc、pq摺疊，使b點與e點重合，a點與f點重合，且p、e、f三點共線．
（1）若點e平分線段pf，則此時aq的長為多少？
（2）若線段ce與線段qf所在的平行直線之間的距離為2，則此時ap的長為多少？
（3）在「線段ce」、「線段qf」、「點a」這三者中，是否存在兩個在同一條直線上的情況？若存在，求出此時ap的長；若不存在，請說明理由．
8．如圖，在菱形abcd中，ac、bd交於點o，ac=12cm，bd=16cm。動點p**段ab上，由b向a運動，速度為1cm/s，動點q**段od上，由d向o運動，速度為1cm/s。過點q作直線ef┴bd交ad於e，交cd於f，連線pf，設運動時間為t（0（1）何時四邊形apfd為平行四邊形？
求出相應t的值；
（2）設四邊形apfe面積為ycm2，求y與t的函式關係式；.
（3）是否存在某一時刻t，使s四邊形apfe:s菱形abcd=17:40？若存在，求出相應t的值，並求出，p、e兩點間的距離，若不存在，說明理由。
9．（本題12分）如圖，已知直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，ad＝2，ab＝8，cd＝10．
（1）求梯形abcd的面積；
（2）動點p從點b出發，以2個單位/s的速度沿b→a→d→c方向向點c運動；動點q從點c出發，以2個單位/s的速度沿c→d→a方向向點a運動；過點q作qe⊥bc於點e．若p、q兩點同時出發，當其中一點到達終點時另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．問：
①當點p在b→a上運動時，是否存在這樣的t，使得直線pq將梯形abcd的周長平分？若存在，請求出t的值，並判斷此時pq是否平分梯形abcd的面積；若不存在，請說明理由．
②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以p、d、q為頂點的三角形恰好是以dq為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
10．我們把由不平行於底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為「準等腰梯形」。如圖1，四邊形abcd即為「準等腰梯形」。其中∠b=∠c．
（1）在圖1所示的「準等腰梯形」abcd中，（畫出一種示意圖即可）；
（2）如圖2，在「準等腰梯形」abcd中∠b=∠c．e為邊bc上一點，若ab∥de，ae∥dc，求證：=；
（3）在由不平行於bc的直線ad截△pbc所得的四邊形abcd中，∠bad與∠adc的平分線交於點e。若eb=ec，請問當點e在四邊形abcd內部時（即圖3所示情形），四邊形abcd是不是「準等腰梯形」，為什麼？若點e不在四邊形abcd內部時，情況又將如何？
寫出你的結論。（不必說明理由）
11．如圖，在平面直角座標系中，點a，b的座標分別是（-3，0），（0，6），動點p從點o出發，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點c從點b出發，沿射線bo方向以每秒2個單位的速度運動。以cp，co為鄰邊構造□pcod，**段op延長線上取點e，使pe=ao，設點p運動的時間為秒.
（1）當點c運動到線段ob的中點時，求的值及點e的座標；
（2）當點c**段ob上時，求證：四邊形adec為平行四邊形；
（3）**段pe上取點f，使pf=1，過點f作mn⊥pe，擷取fm=2，fn=1，且點m，n分別在第
一、四象限，在運動過程中，設□pcod的面積為s.
①當點m，n中，有一點落在四邊形adec的邊上時，求出所有滿足條件的的值；
②若點m，n中恰好只有乙個點落在四邊形adec內部（不包括邊界）時，直接寫出s的取值範圍.
12．如圖（1），e是正方形abcd的邊bc上的乙個點（e與b、c兩點不重合），過點e作射線ep⊥ae，在射線ep上擷取線段ef，使得ef=ae；過點f作fg⊥bc交bc的延長線於點g．
（1）求證：fg=be；
（2）連線cf，如圖（2），求證：cf平分∠dcg；
（3）當時，求sin∠cfe的值．
13．如圖①，兩個菱形abcd和efgh是以座標原點o為位似中心的位似圖形，對角線均在座標軸上，已知菱形efgh與菱形abcd的相似比為1:2，∠bad＝120°，其中ad＝4．
（1）點d座標為 ，點e座標為 ；
（2）固定圖①中的菱形abcd，將菱形efch繞o點順時針方向旋轉α度角（0°＜α＜90°），並延長oe交ad於p，延長oh交cd於q，如圖②所示，
①當α＝30°時，求點p的座標；
②試**：在旋轉的過程中是否存在某一角度α，使得四邊形afep是平行四邊形？若存在，請推斷出α的值；若不存在，說明理由；
14．把乙個含45°角的直角三角板bef和乙個正方形abcd擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點b重合，聯結df，點m，n分別為df，ef的中點，聯結ma，mn．
（1）如圖1，點e，f分別在正方形的邊cb，ab上，請判斷ma，mn的數量關係和位置關係，直接
寫出結論；
（2）如圖2，點e，f分別在正方形的邊cb，ab的延長線上，其他條件不變，那麼你在（1）中得到的兩個結論還成立嗎？若成立，**以證明；若不成立，請說明理由．
圖1圖2
15．已知乙個矩形紙片oacb，將該紙片放置在平面直角座標系中，點a（11，0），點b（0，6），點p為bc邊上的動點（點p不與點b、c重合），經過點o、p摺疊該紙片，得點b′和摺痕op．設bp=t．
（ⅰ）如圖①，當∠bop=30°時，求點p的座標；
（ⅱ）如圖②，經過點p再次摺疊紙片，使點c落在直線pb′上，得點c′和摺痕pq，若aq=m，試用含有t的式子表示m；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，當點c′恰好落在邊oa上時，求點p的座標（直接寫出結果即可）．
16．閱讀下列材料：
已知：如圖1，在rt△abc中，∠c=90°，ac=4，bc=3，p為ac邊上的一動點，以pb，pa為邊構造□apbq，求對角線pq的最小值及此時的值是多少．
在解決這個問題時，小明聯想到在學習平行線間的距離時所了解的知識：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直於平行線的線段最短．進而，小明構造出了如圖2的輔助線，並求得pq的最小值為3．參考小明的做法，解決以下問題：
（1）繼續完成閱讀材料中的問題：當pq的長度最小時， = ；
（2）如圖3，延長pa到點e，使ae=npa（n為大於0的常數）．以pe，pb為邊作□pbqe，那麼對角線pq的最小值為 ，此時= ；
（3）如圖4，如果p為ab邊上的一動點，延長pa到點e，使ae=npa（n為大於0的常數），以pe，pc為邊作□pcqe，那麼對角線pq的最小值為 ，此時= ．
四邊形總結
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