知識梳理
1.四邊形與特殊四邊形的關係
（在箭頭上填寫適當條件）
2.平行四邊形的性質、判定
（1）平行四邊形的性質
（2）平行四邊形的判定
【例1】如圖，在平行四邊形abcd中，已知對角線ac和bd相交於點o，△aob的周長為15，ab=6，那麼對角線ac+bd=_______．
解題思路：運用平行四邊形的對角線互相平分，ac+bd=2(ao+bo)=18
【例2】如圖，在平行四邊形abcd中， e、f是對角線ac上的兩點，請你再新增乙個條件，使四邊形debf是平行四邊形，你新增的條件是說明你的理由。
解題思路：運用平行四邊形的判定（對角線互相平分）ae=cf或af=ce
【練習】
1.下面命題中，正確的是（）
a. 一組對角相等的四邊形是平行四邊形
b. 一組對角互補的四邊形是平行四邊形
c. 兩組邊分別相等的四邊形是平行四邊
d. 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
2.平行四邊形的一邊的長為10,則這個平行四邊形的兩條對角線的長可以是( )
a. b. c. d.
3.已知：如圖，e、f是平行四邊行abcd的對角線ac上的兩點，ae=cf。求證：
（1）△adf≌△cbe
（2）eb∥df
答案：3. 證明：(1)∵ae=cf
∴ae+ef=cf+fe即af=ce
又abcd是平行四邊形，∴ad=cb，ad∥bc
∴∠daf=∠bce
在△adf與△cbe中
∴△adf≌△cbe（sas）
（2）∵△adf≌△cbe
∴∠dfa=∠bec ∴df∥eb
3.特殊四邊形的性質、判定
（1）特殊四邊形的性質
（2）特殊四邊形的判定：
【例3】如圖，已知以△abc的三邊為邊在bc的同側作等邊△abd、△bce、△acf，請回答下列問題：
（1）四邊形adef是什麼四邊形？寫出理由。
（2）當△abc滿足什麼條件時，四邊形adef是菱形？
（3）當△abc滿足什麼條件時，以a、d、e、f為頂點
的四邊形不存在？
解題思路：解探索性問題，一般借助直觀、直覺或經驗先猜測結論，再結合條件加以說明，要注意抓住圖形的特殊性，要得到特殊條件，就要構造特殊圖形．
解：（1）四邊形adef是平行四邊形；
∵△abd、△bce為等邊三角形
∴ab = bd = ad，bc = ce = eb，∠abd = ∠cbe = 60°
∴∠dbe = ∠cba
∴△ebd≌△cba
∴de = ac
又∵△adc為等邊三角形
∴cf = af = ac
∴de = af
同理可得ad = ef
∴四邊形adef是平行四邊形
（2）若四邊形adef為菱形，ad＝af，所以ab＝ac．
所以當△abc滿足ab＝ac時，四邊形adef是菱形；
（3）由（1）得∠bac＝∠bde＝60°＋∠ade，當∠ade＝0°時，以a、d、e、f為頂點的四邊形不存時，此時，∠bac＝60°．所以當∠bac＝60°時，以a、d、e、f為頂點的四邊形不存在．
【例4】如圖，在平行四邊形中，為的中點，連線並延長交的延長線於點．
（1）求證：；
（2）當與滿足什麼數量關係時，
四邊形是矩形，並說明理由．
解題思路：特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定一定要熟練不能混淆，根據題目的條件選擇合適的判定方法。
解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形∴∴
∵為的中點∴∴
∴.（2）解:當時,四邊形是矩形.
理由如下: ∵
∴四邊形是平行四邊形
∵∴四邊形是矩形.
【例5】如圖，在梯形中，，，，，，求的長．
解題思路：解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：
①「作高」：使兩腰在兩個直角三角形中．
②「平移對角線」：使兩條對角線在同乙個三角形中．
③「延腰」：構造具有公共角的兩個三角形．
④「等積變形」：連線梯形上底一端點和另一腰中點，並延長交下底的延長線於一點.
解析一：如圖1，分別過點作於點，於點
又四邊形是矩形，，，
在中，解析二：如圖2，過點作，分別交於點
在中，，，
在中，，，
在中，【練習】
1.如圖，四邊形中，，平分，交於．
求證：四邊形是菱形；
2.如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，ad＝5，ab＝7，bc＝12，求∠b的度數．
3.在梯形abcd中，ab∥cd，，ab=2，bc=3，cd=1，e是ad中點，試判斷ec與eb的位置關係，並寫出推理過程。
答案：1. 解：，即，又，四邊形是平行四邊形。平分，，又，，，，四邊形是菱形．
2. 解：過點a作ae∥dc交bc於e，∵ad∥bc，∴四邊形aecd為平行四邊形．
∴ad＝ec，ae＝cd．∵ab＝cd＝7，ad＝5，bc＝12，∴be＝bc－ce＝12－5＝7，ae＝cd＝ab＝7．∴abe為等邊三角形．故∠b＝60°．
3. 解：
略證：過點c作於f，則四邊形afcd是矩形，在中，可算得，則ad=，故de=ae=
在和中最新考題
本講內容是中考重點之一，如特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性質和判定，以及運用這些知識解決實際問題．中考中常以選擇題、填空題、解答題和證明題等形式呈現，近年的中考中又出現了開放題、應用題、閱讀理解題、學科間綜合題、動點問題、摺疊問題等，這都成了熱點題型，應引起同學們高度關注
考查目標
一、圖形的性質與判定
【例1】（09年南京）如圖，將一張等腰梯形紙片沿中位線剪開，拼成乙個新的圖形，這個新的圖形可以是下列圖形中的（ ）
a.三角形 b.平行四邊形
c.矩形 d.正方形
解題思路：運用梯形的中位線性質，熟悉平行四邊形的特性
【例2】（09年南京）如圖，在平行四邊形abcd中，e、f為bc上的兩點，且be=cf，af=de.求證：（1）△abf≌△dce； （2）四邊形abcd是矩形.
解題思路：運用全等、矩形的判定
解：（1）∵be=cf,bf=be+ef,ce=cf+ef
∴bf=ce
∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ab=dc
在△abf和△dce中
∵ab=dc,bf=ce,af=de
∴△abf≌△dce
（2）解法一：∵△abf≌△dce
∴∠b=∠c,
∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ab∥cd
∴∠b+∠c=180°
∴∠b=∠c=90°
所以四邊形abcd是矩形.
解法二：連線ac,db
∵△abf≌△dce
∴∠afb=∠dec
∴∠afc=∠deb
在△afc和△deb中
∵af=de, ∠afc=∠deb,cf=be
∴△afc≌△deb
∴ac=db
∵四邊形abcd是平行四邊形
四邊形abcd是矩形
【例3】（09年廣東）在菱形abcd中，對角線ac與bd相交於點o，ab＝5，ac=6.過d點作de∥ac交bc的延長線於點e.
（1）求△bde的周長；
（2）點p為線段bc上的點，連線po並
延長交ad於點q.求證：bp=dq
解題思路：（1）∵四邊形abcd是菱形
∴ab=bc=cd=ad=5，ac⊥bd，ob＝od，oa＝oc＝3
∴，bd＝2ob=8
∵ad∥ce，ac∥de，∴四邊形aced是平行四邊形
∴ce＝ad＝bc＝5，de＝ac＝6
∴△bde的周長是：bd+bc+ce+de＝8+10+6＝24.
（2）證明：∵ad∥bc，∴∠obp=∠odq，∠opd=∠oqd
ob=od，∴△bop≌△doq，∴bp=dq。
考查目標
二、開放性問題
【例4】（09年廣東）在矩形abcd中，ab=12，ac=20，兩條對角線相交於點o.以ob、oc為鄰邊作第1個平行四邊形，對角線相交於點；再以為鄰邊作第2個平行四邊形，對角線相交於點；再以為鄰邊作第3個平行四邊形……依此類推.
（1）求矩形abcd的面積；
（2）求第1個平行四邊形、第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面積。
解題思路：（1）∵四邊形abcd是矩形，ac=20，ab＝12
∴∠abc＝９０，
∴（2）∵ob∥，oc∥，∴四邊形ob是平行四邊形。
∵四邊形abcd是矩形，∴ob＝oc，∴四邊形ob是菱形。
∴∴，∴同理：四邊形是矩形，∴
第ｎ個平行四邊形的面積是：
∴【例5】（08 江蘇揚州）如圖，正方形繞點逆時針旋轉後得到正方形，邊與交於點．
（1） 以圖中已標有字母的點為端點鏈結兩條線段（正方形的對角線除外），要求所鏈結的兩條線段相交且互相垂直，並說明這兩條線段互相垂直的理由；
（2） 若正方形的邊長為，重疊部分（四邊形）的面積為，求旋轉的角度．
解題思路：（1）鏈結的兩條相交且互相垂直的線段是ao和de．
理由如下：
證明：在與中，
（即平分）
（等腰三角形的三線合一）
注：其它的結論也成立如．
（2）證明：四邊形的面積為
三角形的面積
考查目標
三、與函式綜合
【例6】如圖：梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90°，ad=9，bc=12，ab=6，**段bc上任取一點p，連線dp，作射線pe⊥dp，pe與直線ab交於點e.（1）試確定當cp=3時，點e的位置；（2）若設cp=x，be=y，試寫出y關於自變數x的函式關係式.
解題思路：（1）連線dp
cp=3 ∴bp=bc－cp=12－3=9
∵ad=9 ∴ad=dp
∵ad∥dp ∴四邊形abpd是矩形 ∴ dp⊥bp
∵pe⊥dp ∴點e與點b重合
（2）過點d作df⊥bc，垂足為f
∴ad=bf=9 ab=df=6
當點p在bf上：
∵∠bpe +∠epd+∠dpf=180°，pe⊥dp
∴∠bpe +∠dpf=90°
四邊形總結
多邊形的內 外角和定理的綜合應用 1.若四邊形的四個內角大小之比為1 2 3 4，則這四個內角的大小為 2.如果六邊形的各個內角都相等，那麼它的乙個內角是 3.在各個內角都相等的多邊形中，乙個外角等於乙個內角的，則這個多邊形的每個內角為度。4.n邊形的內角中，最多有 個銳角。a.1個 b.2 個 c...
四邊形反思
三年級上冊 四邊形的認識 這個內容看似簡單，其實也挺有意思。我先是引導學生觀察主題圖，創設了學校課外活動的情境，讓學生找一找 圖上有哪些是你認識的圖形？並指給同桌看。學生找到了三角形 長方形 正方形 平行四邊形 梯形 圓形 菱形等等。學生說出了那麼多名稱，有已經認識的，也有似曾相識但並不真正明白的。...
《四邊形》反思
四邊形 是一節概念課，在知識內容上是對已學習過的長方形和正方形的延伸，同時也是操作性較強的一節課，通過學生的自主操作，深化理解。本節課是讓學生能夠直觀感知四邊形，通過討論得出四邊形的特徵，並利用這個特徵來辨別四邊形，以及將四邊形分類。在這節課中，我做的比較好的地方有 1.注重學生為主體，教師為引導者...