鄭祥旦r.柯朗和h.羅蘋在《數學是什麼》一書中指出：
「數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、慎密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和」構作」、一般性和個別性。
」這裡面的「構作」是指什麼呢？我在該書中未能找到明確的定義，但有乙個大致能說明「構作」含義的例子：「從長度為實數a，b，c，…的任意給定線段出發，連續應用這些簡單作圖，我們能作出用a，b，c，…構成的有理式（即重複地應用加、減、乘、除）來表示任意量。
由a，b，c，…以這種方式得到的所有量構成了乙個叫作數域的集合，使得這集合中的兩個或多個數經過任意的有理運算後仍然是這個集合中的乙個數。」經檢索，「構作」的英文單詞「consteuction」，具有「建設、建造、解釋」的意思。在小學數學中，「構作」的作用可以是構建某一知識的論域（論域，是在一定文句或對話中涉及到的客觀事物，即論題所包括的同類事物的總和）。
在教材中，我們總能找到可以「構作」的習題。例如：算一算。
①6÷6，5÷5，4÷4；②2÷1，3÷1，6÷1。你能寫出幾道像上面這樣的算式嗎？你發現了什麼？
（人教版二年級下冊第20頁第4題）。練習時，教師可以從已有的數學事實發出，讓學生模仿「構作」，續寫題組①的算式。如3÷3＝1，2÷2＝1，1÷1＝1，7÷7，8÷8，9÷9，10÷10，…。
在「構作」的過程中，學生會發現（也即歸納）：a÷a＝1（a≠0，用語言表達，即同數相除，商是1）。教師接著讓學生續寫題組②：
5÷1＝5，4÷1＝4，1÷1＝1，7÷1，8÷1，9÷1，10÷1，…。學生會發現：任意數除1，得任意數。
一言蔽之，就是「構作」一些同類算式再歸納出數學結論。像這樣的內容，教學時還會經常遇到，大家可以細心地去發現。
更重要的是，我們應該運用「構作」來組織能反映數學知識形成過程的教學活動。《義務教育數學課程（2023年版）》認為，學生學習不是單純的模仿、練習和記憶，需要展現「知識背景－知識形成－提示聯絡」的過程。這樣才能激發學生的學習興趣，理解數學實質，發展思考能力，了解知識之間的關聯。
弗賴登塔爾認為，「數學的根源在於普通的常識」。在教學時，學生要如何獲得「普通的常識」，又如何生成數學知識？那就是讓他們自己去「構作」數學。
通過」構作」數學，學生自主去創造同類的事物，積累豐富的數學知識、經驗和方法，進而形成「數學現實」，成為進一步學習數學的素材。學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用，這對於他們理解數學知識與方法、形成良好的數學習慣、增強應用意識、增高解決問題的能力有著重要的作用。
下文以人教版二年級下冊《餘數和除數的關係》的教學為例。
環節一：「構作」除數是4的除法算式
教師可讓孩子分別拿出8根、9根、10根、11根、12根小棒，分別擺正方形，口述擺出的結果，並寫出相應的算式。如，
8根小棒，擺2個，算式表示是8÷4＝2（個）；
9根小棒，擺2個，剩下1根，算式表示是9÷4＝2（個）……1（根）；
10根小棒，擺2個，剩下2根，算式表示是10÷4＝2（個）……2（根）；
11根小棒，擺2個，剩下3根，算式表示是11÷4＝2（個）……3（根）；
12根小棒，擺2個，剩下4根，算式表示是12÷4＝2（個）……4（根）。
這時，學生可能表示反對。因為剩下4根，也可以擺乙個正方形。所以，12根小棒可以擺3個，算式表示是12÷4＝3（個）。
接著，教師可以讓學生想像：小棒1根1根地不斷增加，擺正方形的情況會有什麼變化？擺3個後，繼續寫算式表示剩下1根、2根、3根；擺4個後，又寫算式表示剩下1根、2根、3根；擺5個後，再寫算式剩下1根、2根、3根……餘數總是有規律地出現。
所以，除數是4，餘數可能是1、2、3；3＜4，2＜4，1＜4，即餘數＜4。
[反思：教師讓學生「構作」了一些除數是4的除法算式，它們的商分別是2、3、4、5，而餘數總是按「沒有餘數、1、2、3、4」的順序有規律地重複出現。學生所「構作」出來的除法算式既成為認識「餘數＜4」的素材，又為歸納數學結論提供了可靠的依據。
有效的數學教學應該經常地要求學生「探索簡單情境下的變化規律」，探索規律實際上就是培養學生的「模式化」思想，發現「規律」就是發現了乙個「模式」。（劉加霞主編.《小學數學課堂的有效教學》.
北京：北京師範大學出版社.2008：
209。）通過數學的「構作」，學生自己創造出一類可供分析、歸納的數學事實。]
環節二：「構作」除數是5的除法算式
教師讓學生用一堆小棒擺五邊形，寫出相應的算式。用5根小棒正好擺1個；用6根擺1個剩1根；接著剩2根、剩3根、剩4根。這時，教師可問：
「可以剩5根嗎？」經歷過環節一，學生很容易就會發現：除數是5，餘數可能是1、2、3、4，即餘數＜5。
環節三：「構作」除數是3的除法算式
教師讓學生用一堆小棒擺三角形，寫出相應的算式。學生也很容易就會得出：除數是3，餘數可能是1、2，即餘數＜3。
環節四：「構作」除數是任何數的除法算式，推論與總結
教師可要求學生自己再寫出乙個除數是任意數的除法算式，推想出它的餘數可能是多少。
最後，教師引導學生按順序排列上述的除法算式，觀察除數是3、4、5、…的除法算式，學生就會進一步歸納：餘數＜除數。
[反思：教師讓學生運用「除數是4的除法算式」的方法，繼續」構作」出除數是5、除數是3乃至除數為任意數的除法算式，這些除數不同的除法算式組成了乙個內容更豐富的素材群，為歸納和總結數學結論提供廣泛的知識背景。]
至此，這節課似乎可以結束了。然而，在實際教學中，我們又經常發現：有的學生對「餘數＜除數」的運用存在困難，特別是在試商方面的困難，在很大程度上防礙了學生除法的學習。
為此，我繼續進行這樣的乙個教學環節。
環節五：在「構作」的除法算式中探索用口訣求商的適用範圍
我讓學生觀察環節一中除法算式的商，想一想：計算這些算式用了哪些乘法口訣？引導學生在除數是4的除法算式中發現：
被除數是8、9、10、11的，都是用二四得八求商。接著，又讓學生在百數表中系統地指出（除數是4）二四得八求商的適用區間（即被除數是8、9、10、11）及其他剩餘的每一句口訣求商的適用區間。最後，繼續在百數表中系統地指出用任意一句乘法口訣求商的適用區間。
小結：一句乘法口訣，不僅可以用來求對應數的商（整除），還可以用來求對應區間數的商（有餘數的除法），如四五二十，可以求20÷4和20÷5的商，也可以求21（22、23）÷4和21（22、23、24）÷5的商。
[反思：試商通常被認為是學習除法的難點。在這裡，教師用學生已「構作」的有餘數除法算式，讓他們在發現「餘數與除數」關係的同時，知道用某句乘法口訣求商總有乙個適用的區間。
一般地，學生只會用乘法口訣中的各數直接求商，如三五十五，只會求15÷3＝5和15÷5＝3，對於16÷5沒有相對應的乘法口訣直接可用，他就會感到困難。而能直接用口訣求商的被除數只有36個數，因而有些學生學不好除法是在所難免的。在學習有餘數的除法時，還有乙個重要的任務，那就是要擴充套件用乘法口訣求商的適用範圍，如4～39中的任意數除以4，都可用4的乘法口訣求商。
學生」構作」了如除數是4的所有除法算式，他就發現了每一句乘法口訣求商的適用區間，再用套區間的方法就能在整除和有餘數除之間快速地找到正確的聯絡，從而提高用乘法口訣求商的水平，降低學習除法的難度。]
從該課例可看出：這與一般的「新授—練習」的教學方式有很大的不同。其中，環節
二、環節三是由教材的「做一做」改造而成，環節四是根據教學實際新增的內容。這樣的設計前置了原先教學中的練習內容，延遲了數學結論的概括得出，有助於學生的學習。「道生一，一生二，二生三，三生萬物」，這樣讓學生自己充分地去「構作」學習所需的數學事實，不僅有利於學生理解所學知識的內涵，更好地揭示相關數學知識之間的內在關聯，還有利於學生從整體上理解數學，構建數學認知結構，積累基本數學活動經驗。
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