1、設總體~，從總體中獲取樣本，求出引數、的矩法估計量。
解因為總體的一階原點矩為，二階中心矩為。樣本的一階原點矩為，二階中心矩為，則令
解得引數、的矩法估計量為，。
2、設是取自下列指數分布的乙個樣本：
證明是的無偏、一致估計，並求出的方差。
證因為所以是的無偏估計。而的方差為
又因為，對於任意的，有
即成立，故是的一致估計。
3、設服從幾何分布,從中獲得樣本，求與的極大似然估計。
解因為服從引數為幾何分布時，有
故應求出引數的極大似然估計，故應寫出似然函式為
則對數似然函式為
求引數的導數 令
解得 由極大似然估計的不變原則，可知總體期望的極大似然估計為
4、設總體的密度函式為， ，從中獲得樣本，求引數的極大似然估計。
解因為似然函式為
取對數得
求導數解得引數的極大似然估計是
5、某行業職工的月收入服從，現隨機抽取30名職工進行調查，求得他們的月收入的平均值元，標準差元，試求的置信水平為0.95的置信區間。
解設行業職工的月收入為，則總體，並且總體方差未知。故對於來自總體容量為30的樣本，可以選擇隨機變數
不含有其它未知引數，可以作為樞軸量。由於給定的置信水平為0.95，自由度為29，則分布的0.975的分位數為。
利用樣本值計算出的平均值，標準差，可以求出引數的置信水平為0.95的置信區間為
故此知該行業職工的月收入在645.38元到747.02元之間的概率為0.95，即置信水平為0.95。
6、為研究某汽車輪胎的磨損特性，隨機取16只輪胎實際使用。記錄到磨壞時所行駛的路程（單位：公里）算得，。
若此樣本來自正態總體，，未知。求該輪胎平均行駛路程的0.95置信下限。
解設汽車輪胎磨壞時所行駛的路程為，則，且總體的方差未知。故取樞軸量
對於給定置信下限的置信水平0.95，可以利用自由度為的分布確定出0.95的分位數，使得
成立。由樣本值計算出的，得到該輪胎平均行駛路程的0.95置信下限為公里。
7、某商店為了解居民對某種商品的需求，調查了100家住戶，得出每戶每月平均需要量為5公斤，標準差為1.5公斤。（1）試就一戶居民對該商品的平均月需求量作置信水平為0.
99的區間估計。（2）如果這個商店要**一萬戶，該商店對此種商品至少要準備多少才能以0.99的概率滿足需要。
解 （1）設居民對某種商品的需求量為，而總體的分布未知。由於樣本容量是大樣本，因此應該選擇樞軸量
對於給定的置信水平0.99，確定出0.995的分位數為，利用樣本值計算出的樣本均值，樣本標準差，可得的置信水平為0.99的置信區間是。
（2）由於的置信水平為0.99的置信上限為，所以至少要準備公斤才能以0.99的概率滿足居民的需要。
8、設是取自服從均勻分布總體的樣本，證明
， ，都是的無偏估計。
證因為而分布密度為：，
則從而同理可得
而分布密度為，則從而
9、某廠產品需要用玻璃紙作包裝，按規定**商**的玻璃紙的橫向延伸率不低於65。已知該指標服從正態分佈,一直穩定於。從近期來貨抽查了100個樣品，得樣本均值，試問在水平下能否接收這批玻璃紙。
解 =-18.07<-1.65
拒絕,在水平下不能接收這批玻璃紙。
10、根據某地環境保**規定，傾入河流的廢物中某種有毒化學物質含量不得超過3ppm。該地區環保組織對某廠連日傾入河流的廢物中該物質的含量的記錄為：。經計算得知
。試判斷該廠是否符合環保法的規定。（該有毒化學物質含量服從正態分佈）
解（1）h0 ：h1 ：
（2）h0 的拒絕域為：
（3）計算，， =1.77667.
所以在顯著水平下，拒絕h0.
11、某醫院用一種中藥**高血壓，記錄了50例**前與**後病人舒張壓資料之差，得到其均值為16.28，樣本標準差為10.58。
假定舒張壓之差服從正態分佈，試問在水平上，該中藥對**高血壓是否有效？
解設**前與**後病人舒張壓資料之差為，則總體，且未知。要檢驗中藥對**高血壓是否有效？屬於單邊檢驗，故此提出假設
， 在假設成立的條件下，應該選用檢驗。針對備擇假設，拒絕域的形式可取為
為使犯第一類錯誤的概率不超過，就要求
由於在時，，所以。當分布的自由度大於45時，可以用標準正態分佈的分數來近似分布的分位數。現在，分布的自由度為49，該值較大，因此在給定時，可利用標準正態分佈確定出0.
05的分位數為。根據來自總體的樣本值計算出檢驗統計量的值為。而在水平上的拒絕域為
顯然，樣本落在拒絕域內，因此在水平上認為該中藥材對**高血壓有效。
12、某種導線的電阻服從,未知,其中乙個質量指標是電阻標準差不大於.現從中抽取了9根導線測其電阻,算得標準差,試問在水平下能否認為這批導線的電阻波動合格。
解檢驗假設
的拒絕區域
不能拒絕,可以認為這批導線的電阻波動合格.
13、新設計的一種測量儀器用來測定某物體的膨脹係數11次，又用進口儀器重複測同一物體11次，兩樣本的方差分別是，。假定測量值分別服從正態分佈，問在水平上，新設計儀器的精度（方差的倒數）是否比進口儀器的精度顯著為好？
解設新設計的儀器測定的膨脹係數為，則，且未知，進口儀器測定的膨脹係數為，則且未知。要檢驗的問題是設計儀器的精度（方差的倒數）是否比進口儀器的精度顯著為好？屬於單邊檢驗。故提出假設
， 在假設為真時，選用檢驗統計量，針對備擇假設確定拒絕域為
對於給定的顯著性水平，利用第一自由度10，第二自由度10的分布，確定出0.05分位數
由樣本值求出成立，樣本落在拒絕域中，應拒絕，在水平下，認為新設計的儀器精度比進口儀器的精度顯著為好。
14、某廠鑄造車間為提高缸體的耐磨性而試製了一種鎳合金鑄件以取代一種銅合金鑄件，現從兩種鑄件中各抽出乙個樣本進行硬度測試（表示耐磨性的一種考核指標），其結果如下：
鎳合金鑄件:72.0，69.5，74.0，70.5，71.8
銅合金鑄件:69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0
根據以往經驗知硬度，，且，試在水平下比較鎳合金鑄件硬度有無顯著提高。
解因為合鎳鑄件的硬度，銅合金鑄件的硬度，且已知成立。要檢驗的問題是比較鎳合金鑄件硬度有無顯著提高，屬於單邊檢驗，故提出假設
， 在假設成立的條件下，由於與均已知，所以選用檢驗。針對備擇假設，拒絕域的形式可取為
為使犯第一類錯誤的概率不超過，就要求在時，，由於在時，，所以臨界值。
在給定水平上，利用標準正態分佈，確定出0.95的分位數為，相應的拒絕域為
現由分別來自兩個總體的樣本計算出，，，因此可得，顯然，樣本未落入拒絕域內，在水平上，認為鎳合金鑄件硬度沒有明顯提高。
15、設有兩個總體是來自的樣本，是來自的樣本，且兩個樣本獨立。
（1）求的矩法估計量；
（2）如果固定，試問與如何配置才能使的方差達到最小？
解 （1）因為總體且獨立，則並且令
解得 （2）因為的方差為
由於固定，可設，則得
則有 令
解得當時，的方差達到最小。
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