第18章勾股定理綜合檢測題
一、認真選一選，你一定很棒！（每題3分，共30分）
1，分別以下列五組數為乙個三角形的邊長：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤3，4，5.其中能構成直角三角形的有（ ）組
a.2b.3c.4d.5
2，已知△abc中，∠a＝∠b＝∠c，則它的三條邊之比為（ ）
a.1∶1∶ b.1∶∶2 c.1∶∶ d.1∶4∶1
3，已知直角三角形乙個銳角60°，斜邊長為1，那麼此直角三角形的周長是（ ）
a. b.3 c. +2 d.
4，如果梯子的底端離建築物5公尺，13公尺長的梯子可以達到建築物的高度是（ ）
a.12公尺 b.13公尺 c.14公尺 d.15公尺
5，放學以後，萍萍和曉曉從學校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若萍萍和曉曉行走的速度都是40公尺/分，萍萍用15分鐘到家，曉曉用20分鐘到家，萍萍家和曉曉家的距離為（ ）
a.600公尺 b.800公尺 c.1000公尺 d.不能確定
6，如圖1所示，要在離地面5公尺處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若要考慮既要符合設計要求，又要節省材料，則在庫存的l1＝5.2公尺，l2＝6.2公尺，l3＝7.
8公尺，l4＝10公尺四種備用拉線材料中，拉線ac最好選用（ ）
7，如圖2，分別以直角△abc的三邊ab，bc，ca為直徑向外作半圓.設直線ab左邊陰影部分的面積為s1，右邊陰影部分的面積和為s2，則（ ）
d.無法確定
8，在△abc中，∠c＝90°，周長為60，斜邊與一直角邊比是13∶5，則這個三角形三邊長分別是（ ）
a.5，4，3 b.13，12，5 c.10，8，6 d.26，24，10
9，如圖3所示，ab＝bc＝cd＝de＝1，ab⊥bc，ac⊥cd，ad⊥de，則ae＝（ ）
a.1 b. c. d.2
10，直角三角形有一條直角邊長為13，另外兩條邊長都是自然數，則周長為（ ）
a.182 b.183 c.184 d.185
二、仔細填一填，你一定很準！（每題3分，共24分）
11，根據下圖中的資料，確定a＝_______，b＝_______，x＝_______.
12，直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為_______.
13，直角三角形的三邊長為連續偶數，則這三個數分別為
14，如圖5，一根樹在離地面9公尺處斷裂，樹的頂部落在離底部12公尺處.樹折斷之前有______公尺.
15，如果乙個三角形的三個內角之比是1∶2∶3，且最小邊的長度是8，最長邊的長度是________.
16，在△abc中，ab＝8cm，bc＝15cm，要使∠b＝90°，則ac的長必為______cm.
17，如圖是我國古代著名的「趙爽弦圖」的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的「數學風車」，則這個風車的外圍周長是
18，甲、乙兩隻輪船同時從港口出發，甲以16海浬/時的速度向北偏東75°的方向航行，乙以12海浬/時的速度向南偏東15°的方向航行，若他們出發1.5小時後，兩船相距＿＿＿海浬.
三、細心做一做，你一定會成功！（共66分）
19，古埃及人用下面方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然後用樁釘成如圖所示的乙個三角形，其中乙個角便是直角，請說明這種做法的根據.
20，從旗桿的頂端系一條繩子，垂到地面還多2公尺，小敏拉起繩子下端繃緊，剛好接觸地面，發現繩子下端距離旗桿底部8公尺，小敏馬上計算出旗桿的高度，你知道她是如何解的嗎？
21，如圖7，乙個牧童在小河的南4km的a處牧馬，而他正位於他的小屋b的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然後回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？
22，（1）四年一度的國際數學家大會於2023年8月20日在北京召開，大會會標如圖8，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的乙個大正方形.若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積.
（2）現有一張長為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖9，請你將它分割成6塊，再拼合成乙個正方形.（要求：先在圖9中畫出分割線，再畫出拼成的正方形並標明相應資料）
23，清朝康熙皇帝是我國歷史上對數學很有興趣的帝王近日，西安發現了他的數學專著，其中有一文《積求勾股法》，它對「三邊長為3、4、5的整數倍的直角三角形，已知面積求邊長」這一問題提出了解法：「若所設者為積數（面積），以積率六除之，平方開之得數，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數」.用現在的數學語言表述是：
「若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數倍，設其面積為s，則第一步：＝m；第二步：＝k；第三步：
分別用3、4、5乘以k，得三邊長」.
（1）當面積s等於150時，請用康熙的「積求勾股法」求出這個直角三角形的三邊長；
（2）你能證明「積求勾股法」的正確性嗎？請寫出證明過程.
24，學校科技小組研製了一套訊號發射、接收系統.在對系統進行測試中，如圖10，小明從路口a處出發，沿東南方向筆直公路行進，並發射訊號，小華同時從a處出發，沿西南方向筆直公路行進，並接收訊號.若小明步行速度為39公尺／分，小華步行速度為52公尺／分，恰好在出發後30分時訊號開始不清晰.
（1）你能求出他們研製的訊號收發系統的訊號傳送半徑嗎？（以訊號清晰為界限）
（2）通過計算，你能找到題中資料與勾股數3、4、5的聯絡嗎？試從中尋找求解決問題的簡便演算法.
參***
一、1，b；2，b；3，d；4，a；5，c.點撥：畫出圖形，東南方向與西南方向成直角；6，b.
點撥：在rt△acd中，ac＝2ad，設ad＝x，由ad2+cd2＝ac2，即x2+52＝(2x)2，x＝≈2.8868，所以2x＝5.
7736；7，a；8，d.點撥：設斜邊為13x，則一直角邊長為5x，另一直角邊為＝12x，所以 13x+5x+12x＝60，x＝2，即三角形分別為10、24、26；9，d.
點撥：ae＝＝＝＝＝2；10，a.
二、11，15、144、40；12，；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76
；18，30.
三、19，設相鄰兩個結點的距離為m，則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，有(3m)2+(4m)2＝(5m)2，所以以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形.
20，15m.
21，如圖，作出a點關於mn的對稱點a′，連線a′b交mn於點p，則a′b就是最短路線.在rt△a′db中，由勾股定理求得a′b＝17km.
22，（1）設直角三角形的兩條邊分別為a、b（a＞b），則依題意有由此得ab＝6，(a－b)2＝(a+b)2－4ab＝1，所以a－b＝1，故小正方形的面積為1.（2）如圖：
23，（1）當s＝150時，k＝＝＝5，所以三邊長分別為：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）證明：三邊為3、4、5的整數倍，設為k倍，則三邊為3k，4k，5k，而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊.
其面積s＝(3k)·(4k)＝6k2，所以k2＝，k＝（取正值），即將面積除以6，然後開方，即可得到倍數.
24，（1）利用勾股定理求出半徑為1950公尺；（2）小明所走的路程為39×30＝3×13×30，小華所走的路程為52×30＝4×13×30，根據前面的探索，可知勾股數3、4、5的倍數仍能構成一組勾股數，故所求半徑為5×13×30=1950（公尺）.
19 9 2 勾股定理 勾股定理的應用
19.9 2 勾股定理 勾股定理的應用 要點歸納 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形。如果存在直角三角形，根據所給的三邊的條件，建立方程，從而使問題解決 如果問題中沒有直角三角形，可以通過新增輔助線構造出直角三角形，尋求定量關係，再根據勾股定理建立相應的方程。...
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勾股定理逆定理
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