方法一（定義法）即從二面角稜上一點在兩個麵內分別引稜的垂線。（適用兩邊三角形全等、或都為等腰三角形）
例1、如圖1－5所示，在四稜錐p－abcd中，底面是邊長為2的菱形，∠bad＝120°，且pa⊥平面abcd，pa＝2，m，n分別為pb，pd的中點．
(1)證明：mn∥平面abcd；
(2)過點a作aq⊥pc，垂足為點q，求二面角a－mn－q的平面角的余弦值．
方法二（三垂線法）在二面角的乙個面上一點p稜及另乙個面分別引垂線pa、pb，連線ab，根據三垂線定理（或逆定理），∠pab為所求的二面角的平面角.
例3.在稜長為1的正方體中，求平面與底面所成二面角的平面角大小
例4．如圖，平面，，若，求二面角的正弦值
方法三（投影面積法）乙個平面上的圖形面積為s，它在另乙個平面上的投影面積為s'，這兩個平面的夾角為 ，則s'=scos 或cos =.
例5．在正方體ac1中，e是bc中點，f在aa1上，且a1f∶fa=1∶2，求平面b1ef與底面a1b1c1d1所成的二面角.
方法四（空間向量法）如圖5，設是二面角的兩個半平面的法向量，其方向乙個指向內側，另乙個指向外側，則二面角的平面角=。
例6、點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點．沿對角線把正方形折成直二面角d－ac－b．
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）求二面角的大小．
練習題：
1. 在立體圖形p－abcd中，底面abcd是正方形，pa⊥底面abcd，pa＝ab，q是pc中點．
ac，bd交於o點．
（ⅰ）求二面角q－bd－c的大小：
（ⅱ）求二面角b－qd－c的大小．
2. 已知平面α⊥平面β，交線為ab，c∈，d∈，，e為bc的中點，ac⊥bd，bd=8．
①求證：bd⊥平面；
②求證：平面aed⊥平面bcd；
③求二面角b－ac－d的正切值．
3. 如圖，△abc和△dbc所在的兩個平面互相垂直，且ab=bc=bd，∠abc=
∠dbc=120°，求
(1) a、d連線和直線bc所成角的大小；
(2) 二面角a－bd－c的大小
4. 如圖平面sac⊥平面acb，δsac是邊長為4的等邊三角形，δacb為直角三角形，∠acb=90°，bc=，求二面角s-ab-c的余弦值。
5、如圖，在正三稜柱abc-a1b1c1中，ab=3，aa1=4,m為aa1的中點，p是bc上一點，且由p沿稜柱側面經過稜cc1到m點的最短路線長為，設這條最短路線與c1c的交點為n。求：
該三稜柱的側面展開圖的對角線長；
pc和nc的長；
平面nmp和平面abc所成銳二面角大小的余弦值
6、如圖，在四稜錐p－abcd中，pa⊥平面abcd，ab＝4，bc＝3，ad＝5，∠dab＝∠abc＝90°，e是cd的中點
(1)證明：cd⊥平面pae；
(2)若直線pb與平面pae所成的角和pb與平面abcd所成的角相等，
求四稜錐p－abcd的體積．
【解析】
1. 在立體圖形p－abcd中，底面abcd是正方形，pa⊥底面abcd，pa＝ab，q是pc中點．
ac，bd交於o點．
（ⅰ）求二面角q－bd－c的大小：
（ⅱ）求二面角b－qd－c的大小．
2. 已知平面α⊥平面β，交線為ab，c∈，d∈，，e為bc的中點，ac⊥bd，bd=8．
①求證：bd⊥平面；
②求證：平面aed⊥平面bcd；
③求二面角b－ac－d的正切值．
3. 如圖，△abc和△dbc所在的兩個平面互相垂直，且ab=bc=bd，∠abc=
∠dbc=120°，求
(1) a、d連線和直線bc所成角的大小；
(2) 二面角a－bd－c的大小
4. 如圖平面sac⊥平面acb，δsac是邊長為4的等邊三角形，δacb為直角三角形，∠acb=90°，bc=，求二面角s-ab-c的余弦值。
5、正解：①正三稜柱abc-a1b1c1的側面展開圖是乙個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為
②如圖1，將側面bc1旋轉使其與側面ac1在同一平面上，點p運動到點p1的位置，連線mp1，則mp1就是由點p沿稜柱側面經過cc1到點m的最短路線。
設pc＝，則p1c＝，
在③連線pp1（如圖2），則pp1就是nmp與平面abc的交線，作nh於h，又cc1平面abc，鏈結ch，由三垂線定理得，。
，所以余弦值為
6、解：解法1：(1)如下圖(1)，鏈結ac.
由ab＝4，bc＝3，∠abc＝90°得ac＝5.又ad＝5，e是cd的中點，所以cd⊥ae.因為pa⊥平面abcd，cd平面abcd，所以pa⊥cd.
而pa，ae是平面pae內的兩條相交直線，所以cd⊥平面pae.
(2)過點b作bg∥cd，分別與ae、ad相交於點f，g，鏈結pf.
由(1)cd⊥平面pae知，bg⊥平面pae.於是∠bpf為直線pb與平面pae所成的角，
且bg⊥ae.由pa⊥平面abcd知，∠pba為直線pb與平面abcd所成的角．
由題意∠pba＝∠bpf，因為sin∠pba＝，sin∠bpf＝，所以pa＝bf.
由∠dab＝∠abc＝90°知，ad∥bc，又bg∥cd，所以四邊形bcdg是平行四邊形．
故gd＝bc＝3.於是ag＝2.
在rt△bag中，ab＝4，ag＝2
bg⊥af，所以bg＝＝2，bf＝＝＝.於是pa＝bf＝.
又梯形abcd的面積為s＝×(5＋3)×4＝16，所以四稜錐p－abcd的體積為v＝×s×pa＝
×16×＝.
解法2：如上圖(2)，以a為座標原點，ab，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系．設pa＝h，則相關各點的座標為：a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)．(1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．
因為·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以cd⊥ae，cd⊥ap.
而ap，ae是平面pae內的兩條相交直線，所以cd⊥平面pae.
(2)由題設和(1)知，，分別是平面pae，平面abcd的法向量．
而pb與平面pae所成的角和pb與平面abcd所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，即＝.
由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，又＝(4,0，－h)，
故＝.解得h＝.
又梯形abcd的面積為s＝×(5＋3)×4＝16
，所以四稜錐p－abcd的體積為v＝×s×pa＝×16×＝.
1、如圖，正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為1，o是底面a1b1c1d1的中心，則o到平面ab c1d1的距離為
a． b． c． d．
2、如圖（20）圖，為平面， ab=5,a,b在稜l上的射影分別為a′，b′，aa′＝3，bb′＝2.若二面角的大小為，
求：（1）點b到平面的距離;
（2）異面直線l與ab所成的角（用反三角函式表示）.
（3）求異面直線l與ab的距離
變式題：
已知為平面，,a,b在稜l上的射影分別為a′、b′，aa′＝3，bb′＝2 ， 3，若二面角的大小為
（1） 求ab的長
（2） 異面直線l與ab所成的角
（3） 求異面直線l與ab的距離
二面角求法大全
peq pef aef，那麼在圖2 2 中，有a1q a1f.作fm a1p於m，連線qh qf，則易得 a1qp a1fp，qmp fmp，所以 pmq pmf 90o，qmf為二面角b a1p f的平面角，使題解取得了突破性的進展.設正三角形的邊長為3，依次可求得a1p qm fm 在 qmf中...
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